发布时间 : 星期六 文章近几全国物理竞赛复赛力学更新完毕开始阅读942abf5c031ca300a6c30c22590102020740f21c
近几年全国物理竞赛复赛力学
1.（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0(v0?0). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g. （30届复赛）
2.如图所示，两根刚性轻杆AB和BC在B段牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角?为锐角，杆
BC长为l，杆AB长为lcos?。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB延长线与挡板垂直。现使
该系统以大小为v0、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角?应满足的条件。
（29届复赛）
3.（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向动，其周期T为年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=°.已知：1AU=×1011m，力常量G=×10-11m3?kg-1?s-2，太阳质量mS=×1030kg.试求P到太阳
距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。（28届复赛）
P 运r0=，彗引S的
rP θP S P0 4、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l.
（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。
（2）若μA=，μC=，θ=°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。（28届复赛）
D α B θ C A 5.（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为?m（?为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处.
1. 若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；
2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件. （30届复赛） 6.（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对
称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)
3.解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2y2?2?1 （1） 2aba、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2 3?2 （2） y
aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
P c?a?r0 （3）
abOS P0xb?a2?c2 （4） 由图1可知，P点的坐标
图1 x?c?rPcos?P （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得
?a根据求根公式可得
22sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0 （7）
b2?a?ccos?P? （8） rP?2222asin?P?bcos?P由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为
E=?Gmms (10) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms? （11） mvP??????2rP?2a?得
vP?Gms?代入有关数据得
21? （12） rPavP=4.39?104m?s?1 (13)
设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律
rPvPsin????P??2? （14）
其中?为面积速度，并有
??代入有关数据可得
πab （15） TyP 由（9）、（13）、（14）、（15）式并
?y b??127o （16）
S axP0OD N4 图2 4.二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的
??B N3 E F N2 mg C f1 N1 A x ??O f2 mg 受力情况如图：
f1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地面对杆AB的支持力，f2、N2为杆AB作用于杆CD的
摩擦力和支持力，N3、N4分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有
N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）
以及对A点的力矩 即
31mglsin??mglsin??N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 （3） 22式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有
取杆CD为研究对象，由平衡条件有
N4?N2cos??f2sin??0 （5）
N2sin??f2cos??mg?0 （6） 以及对C点的力矩
解以上各式可得
CF?lsin?cot? （4）
1N4lcos??mglsin??0 （7）
2N4?1mgtan? （8） 2??mg （9） ?1sin?1tan?sin??3N3??tan??tan???22cos?2sin?? f1???3tan?sin?1tan?sin???cos?2sin??2??mg （10） ? N1?2mg （11）
N2??sin????1?tan?cos??mg （12） 2?1?tan?sin??mg （13） 2? f2??cos??CD杆平衡的必要条件为
??