发布时间 : 星期一 文章小学奥数专题157-4排列 题库版更新完毕开始阅读9495b51b3b3567ec112d8a23
排列
知识框架图 7-4-1排列的基本应用 7 计数综合 7-4 排列 7-4-2捆绑法 7-4-3排列的综合应用
教学目标
1.使学生正确理解排列的意义；
2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一般地，从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm．
根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：
步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；
步骤2：从剩下的(n?1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n?1)种方法； ……
（m?1）?n?m?1(种)方法；步骤m：从剩下的[n?(m?1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n?
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?n?1）（?n?2）??（?n?m?1）由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n（，即
，这里，m?n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共Pnm?（nn?1）（.n?2）（?n?m?1）有m个因数相乘．
二、排列数
一般地，对于m?n的情况，排列数公式变为Pnn?n（?n?1）（?n?2）???3?2?1．
表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n!，?n?1）（?n?2）????3?2?1 读做n的阶乘，则Pnn还可以写为：Pnn?n!，其中n!?n（．
例题精讲
模块一、排列的基本应用
【例 1】 计算：⑴ P52；⑵ P74?P73．（2级）
【解析】 由排列数公式Pnm?（知： nn?1）（.n?2）（?n?m?1）2⑴ P5?5?4?20
4343⑵ P7?7?6?5?4?840,P7?7?6?5?210，所以P7?P7?840?210?630．
2【巩固】 （难度等级 ※）计算：⑴ P32；⑵ P63?P（2级） 10．
232【解析】 ⑴ P3?3?2?6 ⑵ P6?P10?6?5?4?10?9?120?90?30．
3253【巩固】 （难度等级 ※）计算：⑴P（2级） 14?P14； ⑵3P6?P3．
32【解析】 ⑴P14?P14?14?13?12?14?13?2002；
53⑵3P6?P3?3?(6?5?4?3?2)?3?2?1?2154．
【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照
相时3人站成一排) （4级）
【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由
于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在37-4.排列.题库 教师版 page 2 of 19
个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
由排列数公式，共可能有：P43?4?3?2?24(种)不同的拍照情况．
也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：P44?4?3?2?1?24(种)不同的拍照情况．
【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，
排成一列的问题．这时n?4，m?4．
由排列数公式知，共有P44?4?3?2?1?24(种)不同的排法．
【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？（4级）
【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有P99种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后
排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．
9方法一：由全排列公式，共有P9?9?8?7?6?5?4?3?2?1?362880(种)不同的排法．
方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．
45p9?p5?9?8?7?6?5?4?3?2?1?362880
【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？（4级） 【解析】 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列
问题，且n?4．由全排列公式，共有P44?4?3?2?1?24(种)不同的站法．
【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多
少种不同的站法？（4级）
【解析】 由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排
列问题，且n=4．
由全排列公式，共有P44?4?3?2?1?24(种)不同的站法．
【例 3】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少
种不同的车票．（4级）
2【解析】 P14?14?13?182(种)．
【例 4】 班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：
有多少种不同的分工方式？（4级）
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5【解析】 P5?120(种)．
【例 5】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信
号？（4级）
【解析】 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的
问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n?5，m?3．
3由排列数公式知，共可组成P5?5?4?3?60(种)不同的信号．
【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少
种不同的信号？（4级）
2【解析】 P3?3?2?6．
【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、
黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？（4级）
【解析】 方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排
法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．
3由排列数公式，共可以组成P3?3?2?1?6(种)不同的信号．
方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．
根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3?2?1?6(种)．
【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式
做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．
【例 6】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？（4级） 【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知n?8，m?4，根据排列数公式，一共可以组成
4P8?8?7?6?5?1680(个)不同的四位数．
【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？（2级） 【解析】 P63?120．
【例 7】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？（4级） 【解析】 （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字
中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有P42种
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