发布时间 : 星期二 文章小学奥数专题157-4排列 题库版更新完毕开始阅读9495b51b3b3567ec112d8a23
数字都不相同的时刻一共有多少个? （6级）
【解析】 设A:BCDE是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不
22同的数字，所以有P6种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有P7种选22法，所以共有P6×P7=1260种选法．
从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个．
模块二、捆绑法
在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体
当作一个整体捆绑在一起进行计算．
【例 19】 4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有
多少种不同的排法？（4级）
【解析】 ⑴ 4男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一
个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有6?5?4?3?2?1?720种排法．
⑵ 根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有4?3?2?1?24种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24?2?48种排法．
【巩固】 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 分为三步：
第一步：4个男得先排，一共有4?3?2?1?24种不同的排法； 第二步：2个女的排次序一共有2种方法；
第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插． 根据乘法原理，一共有24?2?5?240种排法．
【例 20】 将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种
不同的排列方法？（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）（4级）
【解析】 （法1）七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑．
若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有P55种，所以这种情况有
52?1?P5?240种不同的站法．
若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都有两种选择．另五人的排列共有P55种，所
5以这种情况共有5?2?P5?1200种不同的站法．
所以共有240?1200?1440种不同的站法．
（法2）由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法，
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所以共有2?P66?1440种不同的站法．
【巩固】6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A，B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若
A、B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？（6级）
【解析】 若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个
位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为P22?P55=2×120=240（种） A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为P66=720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．
【例 21】 某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少
先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？（6级）
【解析】 把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，有
63个男少先队员，有P73?7?6 P6?6?5?4?3?2?1?720(种)排法．然后在七个空档中排列
4?5?210(种)排法，最后4个女少先队员内部进行排列，有P4?4?3?2?1?24(种)排法．由乘法原
理，这样的排法一共有720?210?24?3628800(种)．
【例 22】 学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？
（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？（6级）
【解析】 (1)要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女生，考
虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：
P33?P44?6?24?144（种）
(2)根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为： ． P55?P33?120?6?720（种）
【例 23】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同
类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？（6级）
【解析】 ⑴每种书内部任意排序，分别有4?3?2?1，5?4?3?2?1，3?2?1种排法，然后再排三种类型的
顺序，有3?2?1种排法，整个过程分4步完成．4?3?2?1?5?4?3?2?1?3?2?1?3?2?1?103680种，一共有103680种不同排法．
⑵方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有4?3?2?1?24、5?4?3?2?1?120种排法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3本故事书一起全排列，一共有5?4?3?2?1?120种排法，所以一共有24?120?120?345600种排法．
方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4个地方可以插，插童话书时就有5个地方可插，所以一
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共有24?120?6?5?4?345600种排法．
【例 24】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：如
果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？（4级）
【解析】 要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再
分别在各类节目内部排列具体节目的次序．因此出场顺序总数为：
． P33?P22?P22?P33=144（种）
【例 25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，
一共有多少种不同的停车方案? （4级）
【解析】 把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以共有
9P9?362880．
【例 26】 a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？（4级） 【解析】 解法一：插空法，先排c，d，e，有P33种排法．
在c，d，e三个人之间有2个空，再加上两端，共有4个空，a，b排在这4个空的位置上，a与b就不相邻，有P42种排法．
根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 ． P33P42?72（种）
解法二：排除法，把a，b当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑a与b本身的顺序，有P44P22种排法． 总的排法为P55．
总的排法减去a与b相邻的排法即为a与b不相邻的排法，应为P55?P44P22?72（种）．
【巩固】 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？（6级） 【解析】 n人的环状排列与线状排列的不同之处在于：a1a2a3?an、a2a3?ana1、a3a4?ana1a2、…、ana1?an?1在线状排列里是n个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列．所以，n个不同的元素的环状排Pnn?Pnn??11． 列数为n甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是1人（当然，他们之间还有顺序），总排列数为P22P66．从中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的．如甲在乙、丙之间合于后者，但不合于前者）的情况P22P55种．所以，符合题意的排法有P22P66?P22P55?1200（种）．
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模块三、排列的综合应用
【例 27】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？
（6级）
【解析】 先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人
要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：3?P22?P44?144（种）．
【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？
（6级）
【解析】 类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、
5种位置选取方法，所以站法总数有：(3+4+5)?P22?P44?576（种）．
【例 28】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，
丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）
【解析】 先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，
剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：4?3?2?P33?144（种）．
【例 29】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不
能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？（6级）
【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：
如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全
排列，站法总数有：6?P55?720（种）
如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 4?5?P55?2400（种）
如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法
如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有4?4?2?14（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有： 14?4?P55?6720（种）
所以总站法种数为720?2400?2400?6720?12240（种）
【例 30】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端； ⑶ 男、女生分别排在一起；
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