发布时间 : 星期四 文章高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面教案 新人教A版必修2更新完毕开始阅读94d1752685868762caaedd3383c4bb4cf6ecb706
例2 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线. 解:如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
图19
∴过A、B、C有一个平面β. 又∵AB∩α=P,且AB?β,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l, 同理可证:Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R三点共线. 变式训练
三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3,且l1、l2、l3不平行. 求证:l1、l2、l3相交于一点.
证明:如图20,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,
图20
∵l1?β,l2?β,且l1、l2不平行, ∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P, 则P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3.
∴l1、l2、l3相交于一点P.
点评:共点、共线问题是本节的重点,在高考中也经常考查,其理论依据是公理3. 知能训练
画一个正方体ABCD—A′B′C′D′,再画出平面ACD′与平面BDC′的交线,并且说明理由.
解:如图21,
图21
∵F∈CD′,∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC,∴E∈平面ACD′. ∵E∈BD,∴E∈平面BDC′. ∵F∈DC′,∴F∈平面DC′B. ∴EF为所求. 拓展提升
O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心,过D1、B1、A作一个截面,求证:此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上. 解:如图22,连接A1C1、AC,
图22
因AA1∥CC1,则AA1与CC1可确定一个平面AC1, 易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1, 所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1. 又P∈A1C,得P∈平面AC1,而P∈截面AB1D1, 故P在两平面的交线上,即P∈AO1.
点评:证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. 课堂小结
1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质,及作用.
名称 公理1 公理2 公理3 3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. 作用 判定直线在平面内的依据 确定一个平面的依据 两平面相交的依据 作业
课本习题2.1 A组5、6.