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第十一章 算法初步、推理证明、复数 第 9 页 共 17 页 秦
图11－2－3
【解析】 图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断：
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷，最右边1的右边是雷，所以，E，F下均无雷．结合B下方的“3”周围有且仅有3颗雷，C下1，C下一定有雷，B一定没雷，A有一个雷；同理D下方是1,1的周围只有一个雷，可得D下没有雷；
综上所述能够确定下面一定没有雷的方块有BDEF，下面一定有雷的方块有AC. 【答案】 BDEF AC
图11－2－4
9．(2013·安徽高考)如图11－2－4，互不相同的点A1，A2，?，An，?和B1，B2，?，Bn，?分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
【解析】 设OAn＝x(n≥3)，OB1＝y，∠O＝θ，
1
记S△OA1B1＝×1×ysin θ＝S，
21
那么S△OA2B2＝×2×2ysin θ＝4S，
2
S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S， ??
1
S△OAnBn＝x·xysin θ＝(3n－2)S，
21
×x×xysin θ
S△OAnBn2?3n－2?S∴＝＝，
4SS△OA2B21
×2×2ysin θ2
x23n－2∴＝， 44
∴x＝3n－2.
即an＝3n－2(n≥3)．
经验证知an＝3n－2(n∈N*)． 【答案】 an＝3n－2
三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)观察下表： 1， 2,3
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
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?
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？ (2)此表第n行的各个数之和是多少？ (3)2 013是第几行的第几个数？
【解】 (1)∵第n＋1行的第1个数是2n， ∴第n行的最后一个数是2n－1.
－－－
(2)2n1＋(2n1＋1)＋(2n1＋2)＋?＋(2n－1)
－－?2n1＋2n－1?·2n1＝ 2－－
＝3·22n3－2n2.
(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024＜2 013＜2 048， ∴2 013在第11行，该行第1个数是210＝1 024，
由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数． 11．(12分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
22
②sin15°＋cos15°－sin 15°cos 15°；
22
③sin18°＋cos12°－sin 18°cos 12°；
22
④sin(－18°)＋cos48°－sin(－18°)cos 48°；
22
⑤sin(－25°)＋cos55°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解】 (1)选择②式，计算如下：
13
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝. 24
3
(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
4
证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) 1－cos 2α1＋cos?60°－2α?＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
22111131＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α 2222221111331
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) 22244441113＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
444412．(13分)(2014·聊城模拟)下面四个图案，都是由小正三角形构成．设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f(n)．
图11－2－5
(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；
(2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式； 【解】 (1)由题意有f(1)＝3， f(2)＝f(1)＋3＋3×2＝12. f(3)＝f(2)＋3＋3×4＝27.
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f(4)＝f(3)＋3＋3×6＝48. f(5)＝f(4)＋3＋3×8＝75.
(2)由题意及(1)知，f(n＋1)＝f(n)＋3＋3×2n＝f(n)＋6n＋3， 即f(n＋1)－f(n)＝6n＋3， 所以f(2)－f(1)＝6×1＋3， f(3)－f(2)＝6×2＋3， f(4)－f(3)＝6×3＋3，
f(n)－f(n－1)＝6(n－1)＋3， 将上面(n－1)个式子相加，得：
f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋?＋(n－1)]＋3(n－1)
?1＋n－1??n－1?＝6×＋3(n－1)
2
＝3n2－3.
又f(1)＝3，所以f(n)＝3n2.
课时限时检测(11-3) 直接证明与间接证明
(时间：60分钟 满分：80分)命题报告 考查知识点及角度 基础 7,10 1,3 2 题号及难度 中档 4 11 5,8,9,12 稍难 6 分析法 综合法 反证法 综合应用 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．(2014·潍坊模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是( ) 1111A.＜ B．a＋＞b＋ abba
11bb＋1
C．b＋＞a＋ D.＜
abaa＋1
11
【解析】 ∵a＜b＜0，∴＞，
ab
11
又b＞a，∴b＋＞a＋.
ab
【答案】 C
2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数
【解析】 “自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．
【答案】 B
3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P、Q的大小关系是( ) A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定 【解析】 ∵P2＝2a＋7＋2aa＋7＝2a＋7＋2a2＋7a，
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Q2＝2a＋7＋2a＋3a＋4＝2a＋7＋2a2＋7a＋12， ∴P2＜Q2，∴P＜Q. 【答案】 C
4．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( ) A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m?α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n 【解析】 对于平面α和共面直线m、n. 设m，n确定的平面为β，
对于C，若m?α，则m＝α∩β， 从而n∥α可得m∥n，因此C正确． 【答案】 C
1?x?a＋b?，B＝f(ab)，C＝5．(2014·成都模拟)已知函数f(x)＝?，a，b是正实数，A＝f?2??2?
2ab
f?a＋b?，则A、B、C的大小关系为( ) ??
A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A
a＋b1?x2ab?a＋b?【解析】 ∵≥ab≥，又f(x)＝?在R上是减函数，∴f?2?2?2?a＋b
2ab
≤f(ab)≤f?a＋b?，即A≤B≤C.
??【答案】 A 6．(2013·广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，?，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)?S，(x，y，w)?S 【解析】 法一 因为(x，y，z)∈S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)∈S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.故选B. 法二 (特殊值法)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)?S，(x，y，w)?S的说法均错误，可以排除选项A、C、D，故选B. 【答案】 B 二、填空题(每小题5分，共15分) ba 7．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2 ab 成立的条件的个数是________． baba 【解析】 要使＋≥2，只要＞0且＞0，即a，b不为0且同号即可，故有3个． abab 【答案】 3