发布时间 : 星期六 文章量子力学总结 习题 考卷及答案更新完毕开始阅读9554ba8d83d049649b665848
简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。
⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。
电离能：电离态与基态能量之差
⒍氢原子中在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率是：Wnl(r)dr?R2(r)r2dr
nl 在方向(θ，φ)附近立体角dΩ内的概率是：wlm(?,?)dΩ?Ylm(?,?)dΩ
? ?2dτ?0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是：??12则称函数ψ1和ψ2相互正交。
⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φk或φl。
?的正交归一本征波函数，λ是本⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φn(r)是厄密算符Fn
征值，则任一波函数ψ(r)可以按φn(r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。
?的本征态φ时，⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符F力学量F有确定值，这个值就是?在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，算符F这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。 ?B? 。 ??B?A?,B???A⒒算符对易关系：?A?与B?是可对易的； ?,B???0，则称算符A可对易算符：如果?A?与B?是不对易的。 ?,B???0，则称算符A不对易算符：如果?A⒓两力学量同时有确定值的条件：
?有一组共同本征函数φn，而且φn组成完全系，则算符? 和 G定理1：如果两个算符F对易。
?对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。 ? 和 G定理2：如果两个算符F⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，
2? (?F)2?(?G)2?k
4⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：
???dF??F?1?F,H??0 ?dt?ti???量子力学中的能量守恒定律形式是：
??,H???0 dH?1?H?dti????⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r→－r)的运算。
宇称算符：表示空间反演运算的算符。 宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。 ⒗一维谐振子处在基态?(x)?(1) 势能的平均值U (2) 动能的平均值T?22??e??2x2i??t22，求：
1???2x2； 2?p2； 2? (3) 动量的几率分布函数。
?0x2ne??xdx?(2n?1)!? n?12n?12?⒘证明下列关系式：
??，p???i?????????,
??2??L,L???0, (??x,y,z)??
????????Lx,Ly??i?Lz???????????????? (??x,y,z) 综合写成 ：L?L?i?L??Ly,Lz??i?Lx ?L?，L???0，????? ??????Lz,Lx??i?Ly????????????L?L?L??0, (??x,y,z) ,y?i?z; ?,?x?y,x???i?z ?????????
?????????L???Lz,y???i?x ?Lz,x??i?y; Lx,z???i?y y,z??i?x; ?????????????????????L?L?; ?L? p?0, (??x,y,z) ,p?i?p,p??i?p?,?xyzyxz?????????????????????????L?L?L?; ? ?L?; ?,p?i?p,p??i?p,p?i?pyzxzyxzxyx,pz???i?py ?????????????? ?⒙量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成 ；力学量的取值范围就是该算符的所有 。
⒛厄密算符有什么性质？①试证明厄密算符的本征值必是实数。②试证明厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 21. 证明算符关系：
??L??p?x,p?2f(x)??2i?p?f(x), ?x,p?f(x)p???i????p?f(x)???L??2i?p f(x)p, p??xxxxxx?????????????22. 试证明算符Lx?ypz?zpy是厄密算符。
??和L23. 写出角动量分量Ly之间的对易关系。 x?,f(x)???i??f(x) 24. f(x)是x的可微函数，证明：?p???x?x?????各为厄密算符，试证明：A??对易。 25. AB也是厄密算符的条件是A,B与B26. 粒子在宽度为a的非对称一维无限深势阱中，其本征能量和本征波函数为：
22n(?x) (En???2n2, n?1,2,3,??? ?n(x)?2sin 0 ?x?a)
aa2?a当体系处于状态 ?(x)?Ax(a?x)时（A是归一化常数），证明：
??42①?16??；②?14??
96960n?1,3,5???n1,3,5,???n27. 氢原子处在基态?(r,?,?)?1e?a0，求：
?a0r (1) r的平均值； (2) 势能?e的平均值
r2 (3) 动量的几率分布函数。 28. 一维运动粒子的状态是
?Ax?e?x x ?0 ?(x)??? 0 其中 ??0??0 x ?
求：（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。
?! ） （利用公式?0xme??xdx?mm??129. 设氢原子处在状态
?(r,?,?)?53R21(r)Y10(?,?)?1R(r)Y11(?,?)?3R21(r)Y1?1(?,?) 2313试求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
30. 量子力学中，体系的任意态?(x)可用一组力学量完全集的共同本征态?n(x)展开：
?(x)??cn?n(x)，写出展开式系数cn的表达式。
n31. 设粒子的波函数为
?bsinbx, x?2???2?b ?（x）???0， x?2??b?A．给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅； B．求出几率最大的动量值。
32. 力学量算符在自身表象中的表示是一个 矩阵；同一个力学量算符在不同表象中的表示通过一个 矩阵相联系。
? ??????33. 设一力学量为F???? ??，求F的本征值和本征函数。
????2?P?，试判断 ?e? x34. 电子在均匀电场E? ?, 0, 0中运动，哈密顿量为H?2??????Lx, Ly, Lz各量中哪些是守恒量，为什么？
第四章
⒈基底：设 e1, e2, e3 为线性无关的三个向量，空间内任何向量 v 必是e1, e2, e3 的线性组合，则e1, e2, e3 称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于1，这样的基底叫做正交规范基底。
⒉希耳伯特空间：如果把本征波函数Φm看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合｛φm｝构成的一个线性空间。 ⒊表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。
??2?和L?的共同表象中，算符L⒋设已知在L和Ly的矩阵分别为 xz?0 1 0??0 i 0?????2?2???Lx?1 0 1?； Ly?i 0 i? ??2?2?0 1 0?0 i 0?????求它们的本征值和归一化的本征函数。
第五章
(0)(0)⒈ 微扰论：由En求出En，由?n求出?n的近似求解方法。⒉斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。 ⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。
⒋周期微扰产生跃迁的条件是： ????mk 或 ?m??k???，说明只有当外界微扰含