发布时间 : 星期一 文章第四章 数字控制器的连续化设计方法更新完毕开始阅读957755c158f5f61fb73666a1
调节器。
4、比例积分微分调节器
比例积分微分调节器的调节规律为：
?1de(t)?u(t)?kp?e(t)??e(t)dt?TD? （4-22）
TIdt??PID调节器的阶跃响应特性曲
线如图4.10所示。从图中可以看出，系统产生偏差后，比例和微分环节会产生较大的调节作用。积分环节对偏差进行累加，直到最后消除稳态误差。采用PID调节器，使系统的静态特性和动态特性都得到改善，因此在自动控制领域得到了广泛的应用。
在工业控制领域，实际的被控对象一般都是具有纯滞后的二阶惯性环节，即：
e(t) t
0 u(t) Kpe(t) 0 t 图4.10 PID调节器的阶跃响应特性曲线
ke??sG0(s)? （4-23）
(T1s?1)(T2s?1)被控对象具有纯滞后特性，滞后时间为τ，理想的控制系统只能做到系统的输出在滞后时间τ后，才能准确地跟踪输入，因此相应的闭环传递函数为；
?(s)?e??s （4-24）
所以模拟调节器的传递函数为：
D(s)?用级数展开，e??s1?(s)(Ts?1)(T2s?1)??1 （4-25） G0(s)1??(s)k(1?e??s)?1??s，代入上式，得：
(T1s?1)(T2s?1)T1T2s2?(T1?T2)s?1D(s)?? （4-26）
k?sk?s可把式（4-26）变形为：
D(s)?kp(1?式中：
1?TDs) （4-27） TIskp?T1?T2TT；TI?T1?T2；TD?12
T1?T2k?式（4-27）其实就是模拟PID调节器的传递函数，kp、TI、TD分别是比例系数、
积分时间常数和微分时间常数。
可以得出结论：按照理想控制设计出来的控制器是一个PID调节器。对于一般的工业被控对象，它是一个理想的调节器，只要选择合适的参数，经过原系统的滞后时间后，其输出就可以准确地跟踪输入。这也是在工业控制中大量应用PID调节器的原因。
用计算机实现PID控制，必须把模拟PID调节器离散化，得到其控制算式。下面介绍PID算法的数字实现。
4.3.2 PID算法的数字实现
模拟PID调节器的调节规律为：
?1de(t)?
u(t)?kp?e(t)??e(t)dt?TD? （4-28）
TIdt??式中e(t)是系统的偏差，调节器的输入信号；kp是调节器的比例系数；TI是调节器的
积分时间常数；TD是调节器的微分时间常数；u(t)是控制量，调节器的输出信号。
计算机控制系统中，必须把式（4-28）离散化，得到数字PID调节器的控制算式，才能编写PID控制程序，用软件实现PID控制。
离散化过程分为三步： （1） 连续时间离散化
模拟PID调节器中，时间t是连续的，而计算机控制系统只能按照采样时刻的偏差值来计算控制量，因此必须把连续时间离散化。连续时间t用离散时间kT来代替，其中T是采样周期；k是采样序号，k=0，1，2，…
（2） 积分项用累加求和来近似
?e(t)dt??e(i)?t?T?e(i)
0i?0i?0tkk式中△t=T，时间间隔△t是系统的采样周期，应该使T足够小，保证系统的精度。
（3） 微分项用一阶后向差分来近似
de(t)e(k)?e(k?1) ?dtT由此，得到离散的PID控制算式：
?Tu(k)?kp?e(k)?TI?
?e(i)?i?0k?TD?e(k)?e(k?1)?? （4-29） T?式（4-29）表示的控制算式提供了执行机构在第k个采样时刻的位置u(k)，比如用PID控制器控制阀门的开度，其输出u(k)与阀门开度的位置一一对应，所以被称为位置式的PID控制算式，其控制示意图如图4.11所示。 输出值y 给定值r + e u 位置式PID控制器 受控对象
-
图4.11 位置式PID控制示意图
令积分系数kI?kpTT，微分系数kD?kpD，则式（4-29）可以写成： TITku(k)?kpe(k)?kI?e(i)?kD?e(k)?e(k?1)? （4-30）
i?0从上式可以看出，要想计算出u(k)，必须把前面所有时刻的偏差e(i) 进行累加，
计算量比较大，编程也比较复杂，而且存储多个偏差值，也会占用大量的存储空间。为了简化运算，可以对其作如下改动。
由式（4-30），我们可以得到u(k-1)：
u(k?1)?kpe(k?1)?kI?e(i)?k?e(k?1)?e(k?2)? （4-31）
Di?0k?1用式（4-30）减去（4-31），可得：
?u(k)?u(k)?u(k?1)
?kp?e(k)?e(k?1)??kIe(k)?kD?e(k)?2e(k?1)?e(k?2)? （4-32）
式中u(k-1) 对应执行机构在第k-1个采样时刻的位置，所以其输出△u(k)提供了执行机构在第k个采样时刻位置的增量，因此被称为增量式的PID控制算式。
可以看出，要计算△u(k)，只需用到e(k)、e(k-1)、e(k-2)三个最近的偏差值，计算比较简单，编程也比较容易。
增量式的PID控制算式也可变形为：
?u(k)?a0e(k)?a1e(k?1)?a2e(k?2) （4-33）
式中：
a0?kp??1???TTD?TD?TD???a?k1?2；； a?k?1p?2p?TIT?T?T?控制步进电机时可以应用增量式PID控制器，在执行过程中用步进电机实现位置
的累积，对位置的增量进行累加，其控制示意图如图4.12所示。
y r + u e △u 步进电机 受控对象 增量式PID控制器 - 图4.12 增量式PID控制示意图
位置式PID控制算法和增量式PID控制算法的流程图如图4.13所示。 开始 开始 置参数r 、a0、a1、a2 置参数r 、a0、a1、a2 置初值e(k-1)=e(k-2)=0、u(k-1) 置初值e(k-1)=e(k-2)=0 启动A/D转换，采集输出y(k) 启动A/D转换，采集输出y(k) 求偏差e(k)= r- y(k) 求偏差e(k)= r- y(k) 计算△u(k) 计算△u(k) 输出u(k)=△u(k)+ u(k-1)，进行D/A转换 输出△u(k)，进行D/A转换 参数传递e(k-2)=e(k-1) 参数传递e(k-2)=e(k-1)、e(k-1)=e(k) u (k-1)= u (k) e(k-1)=e(k) N N 采样时间到？ 采样时间到？ Y Y 图4.13 位置式PID和增量式PID控制算法的流程图
增量式PID控制器与位置式PID控制器相比，有以下优点：
（1）位置式PID控制器输出的是执行机构的位置，控制算式要对过去所有的偏差值进行累加，因此容易产生累积误差。增量式PID控制器输出的是位置的增量，计