发布时间 : 星期六 文章青岛理工大学概率统计期末试卷—A(附答案)更新完毕开始阅读95a97757360cba1aa911da5f
2008年下学期概率统计试卷(A)参考答案
一、填空题：每空3分，共18分.请将各题号对应的正确答案填写在下列表格内. 题号 1 2 3 4 5 231 A(BC) 答案 6 3970
6 1 21. 设A, B, C是三个随机事件. 事件：A不发生, B, C中至少有一个发生表示为(空1) .
2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设Bi={第i次取到黑球},i=1,2,3,4. 则P(B1B2B3B4)=(空
2) .
解 用乘法公式得到
P(B1B2B3B4)?P(B1)P(B2|B1)P(B3|B1B2)P(B4|B1B2B3)
?bb?arr?a???. b?rb?r?ab?r?2ab?r?3a1927. 则每次试验成功的概率为(空3) ..
=3/70
3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是
198183，那么一次都没有成功的概率是. 即(1?p)?, 故 p=.
2732727224. 设随机变量X, Y的相关系数为0.5, E(X)?E(Y)?0, E(X)?E(Y)?2, 则E[(X?Y)2]=(空4) . 解 E[(X?Y)2]?E(X2)?2E(XY)?E(Y2)?4?2[Cov(X,Y)?E(X)E(Y)] ?4?2?XYD(X)D(Y)?4?2?0.5?2?6.
（X）≥|3}=(空5) . 5. 设随机变量X的方差为2, 用切比雪夫不等式估计P{|X?E解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数?, 有
D(X)P{X?E(X)≥?}≤2,
?（X）≥|3}≤所以 P{|X?E.
9226. 设总体X的均值为0, 方差?存在但未知, 又X1,X2为来自总体X的样本, k(X1?X2)2为?的无偏估计. 则常数k=(空6) .
2解 由于E[k(X1?X2)2]?kE[(X12?2X1X2?X22)]
?k[E(X12)?2E(X1X2)?E(X22)]?k2?2??2,
12为?的无偏估计. 2二、单项选择题：每小题2分，共18分. 请将各题号对应的正确选项代号填写在下列表格内. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选项 D B A A C D D B C 所以k=
1. 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是( ).
(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) P(A)=0或P(B)=0.. (D) 以上答案都不对. 解 本题答案应选(D).
2. 在5件产品中, 只有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 至多有1件一等品. (C) 恰有1件一等品. (D) 至少有1件一等品. 解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为者加起来即为0.7. 答案为（B）.
3. 设事件A与 B相互独立, 且0 (A) A与B一定互斥. (B) P(AB)?P(A)P(B). (C) P(A|B)?P(A). (D) P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B). 解 因事件A与B独立, 故A与B也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(C)和(D)也是正确的. 从而本题应选(A). 4. 设随机变量X服从正态分布N(?1,?1),Y服从正态分布N(?2,?2),且P{X??1?1}?P{Y??2?1}, 则下列各式中正确的是( ). (A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2. 解 对μ1＝μ2时, 答案是(A). 5. 设X~N?0?1?,令Y??X?2, 则Y~( ). 22C3?C2C5211, 没有一等品的概率为 C3?C2C5202, 将两 (A)N(?2,?3). (B)N(0,1). (C)N(?2,1). (D)N(2,1). 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C). 6. 设X与Y相互独立，且都服从N(?,?2), 则下列各式中正确的是( ). (A) E(X?Y)?E(X)?E(Y). (B) E(X?Y)?2?. (C) D(X?Y)?D(X)?D(Y). (D) D(X?Y)?2?2. 解 注意到E(X?Y)?E(X)?E(Y)?0.由于X与Y相互独立,所以 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?2. 选(D). 7. 设(X, Y)服从二元正态分布, 则下列结论中错误的是( ). (A) (X, Y)的边缘分布仍然是正态分布. (B) X与Y相互独立等价于X与Y不相关. (C) (X, Y)的分布函数唯一确定边缘分布函数. (D) 由(X, Y)的边缘概率密度可完全确定(X, Y)的概率密度. 解 仅仅由(X, Y)的边缘概率密度不能完全确定(X, Y)的概率密度. 选(D) 28. 设z?,??(n),t?(n),F?(n1,n2)分别是标准正态分布N(0,1)、?2(n)分布、t分布和F分布的上?分位点, 在下列结论中错误的是 ( ). (A) z???z1??. (B) 2(n)=1-?12??(n). ?? (C) t?(n)??t1??(n). (D) F?(n1,n2)?解 应选(B). 1. F1??(n2,n1)X (A) Y~?2(n). (B) Y~?2(n?1). (C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n) 解 由题设知,X?9. 设随机变量X~t(n)(n?1),Y?12, 则下列关系中正确的是( ). UVn, 其中U~N(0,1),V~?2(n). 于是 VV1Y?2=n2?n2, XUU122这里U~?(1), 根据F分布的定义知Y?12X三、(10分)某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意抽取一件进行检查. (1) 求这件产品是次品的概率; (2) 已知抽得的产品是次品, 问此产品来自乙车间的概率是多少？ 解 设A表示“取到的产品是一件次品”, Bi(i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙车间”. 易知, B1,B2,B3是样本空间S的一 个划分, 且 ~F(n,1).故应选(C). P(B1)?0.4,P(B2)?0.38,P(B2)?0.22，P(A|B1)?0.04,P(A|B2)?0.03,P(A|B3)?0.05. . 4分 (1) 由全概率公式可得 P(A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)?P(A|B3)P(B3) ?0.4?0.04?0.38?0.03?0.22?0.05?0.0384. ................ 4分 (2) 由贝叶斯公式可得 P(B2|A)?P(A|B2)P(B2)P(A)?0.38?0.030.0384?1964?0.297. ............. 2分 四、(10分)设随机变量X的概率密度为 ?1?(x?1),0?x?2, f(x)??4?0,其它,?对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 根据概率密度与分布函数的关系式 P{a?X≤b}?F(b)?F(a)??f(x)dx, ab可得 . ............................ 5分 48所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为 535175C32()2()?C33()3?. ........................... 5分 888256 1P{X?1}??21(x?1)dx?5五、(12分) 随机变量(X,Y)的概率密度为 ?1?(6?x?y),0?x?2,2?y?4, f(x,y)??8?其它.?0,求: (1) P{X?Y≤4}；(2) 关于X的边缘分布和关于Y的边缘分布；(3) X与Y是否独立？并说明理由. 解 (1) P{X?Y≤4}?x?y≤4??f(x,y)dxdy??dy?244?x018(6?x?y)dx 21??........................... 4分 ???(6?y)x?x2?dy?. 238?2?0144?x(2) 当0?x?2时, fX(x)??????f(x,y)dy??4182(6?x?y)dy?1(3?x); 4当x≤0时或x≥2时, fX(x)?0. ?1?(3?x),0?x?2,故 fX(x)??4 ........................ 3分 ?其它.?0,当2 ?1?(5?y),2?y?4,故 fY(y)??4 ......................... 3分 ?其它.?0,(3) 因为f(x,y)?fX(x)fY(y),所以X与Y不相互独立. ........................... 2分 六、(10分)设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一整数. 该经销商 店每销售一单位该种商品可获利500元; 若供大于求则削价处理, 每处理一单位该种商品亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每一单位商品仅获利300元. 为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标, 试确定该经销商店对该种商品的进货量范围. 解 设进货量为a单位, 则经销商店所获利润为 ?500a?300(X?a)?300X?200a,a?X≤30, ............ 4分 Ma???500X?100(a?X)?600X?100a,10≤X≤a.需求量X的概率密度为 ?1?,10?x?30, ........................... 2分 f(x)??20??0,其它.由此可得利润的期望值为 3011a130E(Ma)??Madx?(600x?100a)dx?(300x?200a)dx .............. 2分 ??1010a202020152 ??a?350a?5250 215215262依题意, 有?a?350a?5250≥9280,即a?350a?4030≤0, 解得≤a≤26. 故期望利润不少于9280元的进货量范围为21单 223位~26单位. ................................................................ 2分 七、(10分)设总体X的概率密度为 ?(??1)x?,0?x?1, f(x;?)??0, 其它.?其中θ>-1是未知参数, X1,X2,…,Xn 是来自总体X的容量为n的简单随机样本. 求: (1) ?的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 E(X)??????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1. ??22X?1??1???令E(X)?X, 即. .................... 4分 ?X, 得参数θ的矩估计量为 1?X??2设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为 ?n??n??(??1)??xi?,0?xi?1, ..................... 2L???i?1??其它.?0,分 当0 dlnLd??n??1??lnxi=0, 得θ的极大似然估计值为 i?1n????1?n?lnxi?1n???1?,而θ的极大似然估计量为?in?lnXi?1n. ............................ 4分 i八、(12分)从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得该样本平均值11958, 样本标准差s?316．设该试验物的发热量服从正态分布N(?,?2)，其中参数σ2未知. (1) 求?的置信水平为0.95的置信区间; (2) 取显著性水平α=0.05, 问是否可以认为该试验物发热量的 期望值为12100? (3) 问题(1)和(2)的前提与结论之间有什么关系? 解 (1) 已知数据 n=24, x=11958, s=316, α = 0.05, 可得t?/2(n?1)=t0.025(23)=2.0687. 所求置信区间为 (x?snt?/2(n?1),x?sn............................ 4分 t?/2(n?1))=(11824.59,12091.41) (2) 提出假设 H0: μ=μ0=12100; H1:μ≠μ0 . .................................... 2分 对于α=1-0.95= 0.05, 选取检验统计量t?X??0Sn, 拒绝域为|t|>t?/2(n?1)=t0.025(23)=2.0687 .. 2分 代入数据n=24, x=11958, s=316, 得到|t|?|x??0|sn?|11958?12100|31624?2.20144>2.0687. 所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量 的期望值为12100. ........................................................... 2分 (3) 假设检验中的显著性水平α=0.05与置信区间估计的置信水平0.95满足关系0.95=1-α； .. 1分 ..................... 1分 ?的双侧假设检验的接受域与?的置信水平为0.95的置信区间相同. 注意：题目参考数据: t0.025(24)=2.0639, t0.025(23)=2.0687, t0.05(24)=1.7109, t0.05(23)=1.7139 z0.025=1.96, z0.05=1.65