发布时间 : 星期日 文章实验六无限冲激响应(IIR)数字滤波器的三种结构更新完毕开始阅读95e3c871376baf1ffc4fad7d
（数字信号处理）实验报告
实验名称 实验六无限冲激响应(IIR)数字滤波器的三种结构 实验时间 年 月 日 专业班级 学 号 姓 名
成 绩 教师评语：
一、实验目的
1、掌握IIR滤波器的直接II型、级联型和并联型三种结构的基本原理和特点。 2、掌握利用MATLAB实现IIR滤波器的三种结构的程序设计方法，并能够进行三者之间的相互转换。
3、掌握滤波器频响特性的绘制方法。 二、实验原理与计算方法
按照结构划分数字滤波器，有递归式和非递归式两种。递归式数字滤波器的差分方程为
y(n)??ak?1Nky(n?k)??bx(n?i) (1)
ii?1M其中至少有一个ak?0.非递归式数字滤波器的差分方程为 y(n)??bx(n?i) (2)
ii?1M可以看出递归式数字滤波器的响应y(n)不仅与激励x(n)有关，而且与以前的输出信号y(n?k)有关；而非递归式数字滤波器的响应y(n)仅只与激励x(n)有关。
按照单位样值响应划分数字滤波器，则有无限冲激响应(IIR)和有限冲激响应(FIR)之分。IIR滤波器是递归式的，差分方程如(1)式所示，FIR滤波器一般是非递归式的，差分方程如(2)式所示。
IIR滤波器常用的典型结构有直接II型、级联型和并联型，分别介绍如下： １、直接II型（也称为正准型结构） 根据(1)式，IIR滤波器的传输函数为
?bzkN?k H(z)?k?0N (3)
kz?k1??ak?1其中已假设(1)式中的N?M，对于其它情况，则可令相应的某些系数为零。
令 H1(z)??k?0Nbkz?k, H2(z)?1?1?ak?1N
kz?k则有 H(z)?H1(z)H2(z) (4) 由此可以得到相应的时域中激励x(n)与响应y(n)之间的关系为
Ny2(n)??ak?1Nkky2(n?k)?x(n)
y(n)? (5)
y2(n?k)?bk?0其中y2(n)是与(4)式中的H2(z)相应的中间函数序列。
由(5)式确定的直接II型的信号流图如图
(n) y2(n) b0 y(n)
6-1所示，其中将中间的两条延时链合并为一条，x
实际的信号流将按（5）式分成两个延时链独立 z-1 a b 运行。编程时，用三个数组分别存放系数ak,bk和 1 z-1 1y2(n?k)，k?1,2,?,N。由图可以看出，y2(n) a2 b2 -1沿中间的延时链自上向下传播过程中将逐级向 z aN-1 bN-1 右移位，每一级y2(n?k)向左边与ak的乘积按 z-1 aN bN k?1,2,?,N累加，再和x(n)相加，得到的y2(n) 沿中间的延时链又自上向下传播逐级向右移位，
图 6-1 直接II型结构信号流
每一级y2(n?k)向右边与bk的乘积按
k?0,1,2,?,N累加，其结果就是对应于激励x(n)的响应y(n)。然后y2(n)向右移位一个单位时间，输入激励x(n)计算下一个时刻的响应y(n)。
直接II型结构具有简单直观的典型网络结构形式，在计算机上很容易实现。但是它对系数ak,bk的量值变化比较敏感，ak,bk直接确定了系统零、极点的位置，从而影响到系统的性能。尤其当阶数N较高时，系统对系数的字长效应很敏感，产生的误差也较大。
２、级联型结构
由于当直接II型结构传输函数阶数增加时，系数量化引起的误差影响到滤波器的性能，因此要采用其它形式的结构。
将(3)式的传输函数分子和分母进行因式分解，即用它的零、极点表示为
?(1?q H(z)?k?1N1k?1M1kz)?1?(bk?1N2k?1M20k?b1kz?1?b2kz?2) (6)
1k?(1?pkz?1)?(1?az?1?a2kz?2)其中N1?2N2?N，M1?2M2?N，分子和分母中的实系数二阶因子分别对应于共轭零、极点。可以将上式分子和分母中单根一阶因子作为二阶因子的一种特例，那么(6)式就可以表示为M个实系数二阶基本节级联的形式 H(z)??k?1Mb0k?b1kz?1?b2kz?21?a1kz?1?a2kz?2??Hk?1Mk(z) (7)
Hk(z)?b0k?b1kz?1?b2kz?21?a1kz?1?a2kz?2 (8)
其中Hk(z)为滤波器的二阶基本节，
?N?1?a1k,a2k,b0k,b1k,b2kM???为取整结果。
?2?
x(n) h1(n) b01 hM(n) b0M y(n)
z-1 z-1 a11 b11 a1M b1M z-1 z-1 a21 b21 a2M b2M
图 6-2 级联型结构信号流
则分别是第k个基本节的分母、分子系数，它们只关系到滤波器的某一对零、极点。级联型结构如图6-2所示，它是一系列二阶基本节Hk(z)的级联，每一个Hk(z)可以用直
接II型结构实现。
级联型结构的特点是对滤波器性能的调整比较方便，调整系数a1k,a2k,b0k,b1k,b2k，只单独涉及到第k级零、极点，而不会影响到其它任一级的零、极点，因而可以独立地控制滤
波器的各零、极点的分布。
３、并联型结构
这种结构将传输函数H(z)展开为部分分式，即表示为若干一阶和二阶基本节网络与一个常数B0之和
H(z)?B0??1?pk?1M1Bkkz?1??1?ak?1M2b0k?b1kz?1?1?a2kz?21kz (9)
其中M1?2M2?N，同样也可以统一表示为二阶基本节的形式 H(z)?B0??1?ak?1Mb0k?b1kz?11kz?1?a2kz?2?B0??Hk?1Mk(z) (10)
并联型结构信号流如图6-3所示，其中
B0
二阶基本节网络可以用直接II型结构实现，x(n) y1(n) b01 y(n) 程序设计也可参考直接型II结构的方法。并
z-1 联型结构也可以单独调整极点位置，但却不 a11 b11
-1
能象级联型结构那样直接控制零点的分布。 a 21 z 因为并联型结构各二阶基本节网络的零点并
yM(n)
不是整个系统函数的零点。因此，当要准确
-1
传输零点时，以采用级联型结构为宜。不过， z
a1M b1M 由于并联型基本节之间互不影响，所以运算 z-1
a2M 误差比级联型的要小一些。
通常，IIR滤波器用系统函数的有理式
（直接结构形式）描述，Matalb中提供相应 图 6-3 并联型结构信号流 的函数可以把直接型结构转换成级联和并联型结构。
在MATLAB中，直接型结构由两个行向量描述，b包含系数{bk}，a包含系数{ak}，可由filter函数实现。
要由已知的直接型结构实现级联型结构，可利用函数dir2cas根据直接型的系数{bk}和{ak}得到系数b0，{Bk,i}和{Ak,i}，该函数把矢量b和a转换成K×3维矩阵B和A。首先计算b0，它等于b0/ a0，（a0≠1），然后通过给较短的矢量添零，使矢量b和a一样长。这就保证每一个双二阶环节的分子和分母均不为零。接着计算多项式B(z)和A(z)的根，用cplxpair函数把这些根以共轭复根对的次序排列，最后用poly函数把每一对根再转换成二阶分子或分母多项式。级联型由casfiltr函数实现，它把每个二阶环节的系数存放在矩阵B和A中，放在一个循环里，而在此循环中采用filter函数。输入被乘以b0，每个滤波器的输出作为下一级滤波器的输入，最后一个滤波器的输出即为总的输出。
函数cas2dir可以把级联形式转换成直接形式。这是一个包含几次多项式乘法的简单运算，在一个K次的循环中实用conv函数。
类似的，利用dir2par函数可以把直接型系数{bk}和{ak}转换成并联型系数{Bk,i}和{Ak,i}，并在parfiltr函数中使用这些系数以实现并联形式。而par2dir函数则可用来实现并联形式转换成直接形式。
三种结构的IIR滤波器均可通过以下方式计算单位抽样响应。 delta=impseq(0,0,7);
hdir=filter(b,a,delta)％直接型结构
hcas=casfiltr(b0,B,A,delta) ％直接型结构实现级联型结构 hpar=parfiltr(C,B,A,delta) ％直接型结构实现并联型结构
传输函数为H(z)的滤波器的频率特性为H(ej?)?H(z)z?ej?。由于我们所讨论的滤波器都是稳定系统，其所有极点都在z平面的单位圆内，单位样值响应h(n)是一个无限长的衰减序列，所以要截取有限长的一段来作频率特性分析。截取的长度越长，逼近的程度越高。如果截取长度为N，滤波器的频率特性由Fourier变换得
H(ej?)??h(n)en?0N?1?j?n??h(n)cosn??j?h(n)sinn? (11)
n?0n?0N?1N?1
则滤波器的幅频特性和相频特性可表示为
?N?1??N?1?j? H(e)??h(n)cosn????h(n)sinn?? (12)
?????n?0??n?0?22??n?0 ?(?)?arctanN?1n?0?h(n)sinn? (13)
N?1?h(n)cosn?三、实验内容
设三阶滤波器的传输函数为
121?0.581z?4?0.211z?4 H(z)? -1?2?31-0.398?40z.247z5?0.043z22激励信号为
? x1(n)?e?ancosn?0RN(n) a?0.5, ?0?, N?40 2 x2(n)??(n) ?20?n?20
根据所给定的滤波器系统函数和参数值，用三种结构实现该IIR数字滤波器结构，分别使激励x1(n)和x2(n)通过该滤波器，求出相应于不同激励的响应，作出响应信号的图形和幅频、相频特性曲线，并判断该滤波器为何种滤波器(低通、高通、带通、带阻)。
实验代码：
b=[1 0.5814 0.2114 0] a=[1 -0.3984 0.2475 -0.04322] delta=impseq(0,-10,10) hdir=filter(b,a,delta) [b0,B,A]=dir2cas(b,a) hcas=casfiltr(b0,B,A,delta) [C,B,A]=dir2par(b,a) hpar=parfiltr(C,B,A,delta) n=[0:40]
x1=exp(-0.5.*n).*cos(n.*(pi./2)) y1=filter(b,a,x1) y2=casfiltr(b0,B,A,x1) y3=parfiltr(C,B,A,x1) subplot(4,3,1); stem(x1,'.'); title('x1') subplot(4,3,4); plot(y1); title('直接型') subplot(4,3,5); plot(angle(y1)); title('直接型相频特性') subplot(4,3,6); plot(abs(y1));
title('直接型幅频特性')