2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法学案 理 联系客服

2019年

B(0,2,0),A1(2,0,2), P(0,1,2),B1(0,2,2),

→→∵BQ=λBA1,

∴(x,y-2,z)=λ(2,-2,2),

x=2λ,??

∴?y=2-2λ,??z=2λ,

∴Q(2λ,2-2λ,2λ).

∵点Q在线段A1B上运动,

∴平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量, 设平面A1PB的法向量为n1=(x,y,z),

BP=(0,-1,2),PA1=(2,-1,0),

→??n1·BP=0,由?

→??n1·PA1=0,

?-y+2z=0,?

得???2x-y=0,

令y=2,得n1=(1,2,1),

设平面B1PQ的法向量为n2=(x,y,z),

PB1=(0,1,0),B1Q=(2λ,-2λ,2λ-2).

→??n2·PB1=0,

由?

→??n2·B1Q=0,令z=1得n2=?

??y=0,

得?

?2λx-2λy+?2λ-2?z=0,?

→→

?1-λ,0,1?=1(1-λ,0,λ),

?λ?λ?

取n2=(1-λ,0,λ),

|(1,2,1)·(1-λ,0,λ)|

由题意得|cos〈n1,n2〉|= 22

6·?1-λ?+λ

2019年

1

6×2λ-2λ+1

2

2

30, 10

∴9λ-9λ+2=0, 12

解得λ=或λ=,

33

1230

∴当λ=或λ=时,平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为.

3310

真题体验

1.(2017·北京)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=6,AB=4.

(1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B—PD—A的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. (1)证明 设AC,BD交于点E,连接ME,如图所示.

因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME, 所以PD∥ME.

因为四边形ABCD是正方形, 所以E为BD的中点, 所以M为PB的中点.

(2)解 取AD的中点O,连接OP,OE. 因为PA=PD,所以OP⊥AD,

又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且OP?平面PAD, 所以OP⊥平面ABCD.

2019年

因为OE?平面ABCD,所以OP⊥OE. 因为四边形ABCD是正方形, 所以OE⊥AD,

如图,建立空间直角坐标系O-xyz,

→→

则P(0,0,2),D(2,0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),PD=(2,0,-2). 设平面BDP的法向量为n=(x,y,z), →??n·BD=0,

则?

→??n·PD=0,

?4x-4y=0,

即?

?2x-2z=0.

令x=1,则y=1,z=2.于是n=(1,1,2). 平面PAD的法向量为p=(0,1,0),

n·p1

所以cos〈n,p〉==. |n||p|2

由题意知,二面角B-PD-A为锐角, π

所以它的大小为.

3(3)解 由题意知M?-1,2,??2?

?,C(2,4,0), 2?

MC=?3,2,-

→?

?

2??. 2?

设直线MC与平面BDP所成的角为α,则 →

|n·MC|26→

sin α=|cos〈n,MC〉|==.

→9|n||MC|26

所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为. 9

?所在平面垂直,M2.(2018·全国Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD?上异于C,D的点. 是CD

2019年

(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.

(1)证明 由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC?平面ABCD,所以

BC⊥平面CMD,又DM?平面CMD,

故BC⊥DM.

?上异于C,D的点,且DC为直径, 因为M为CD所以DM⊥CM.

又BC∩CM=C,BC,CM?平面BMC, 所以DM⊥平面BMC.

又DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

(2)解 以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

?的中点.由题设得 当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CDD(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0),

设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则 →??n·AM=0,

?

→??n·AB=0,→

??-2x+y+z=0,

即?

?2y=0.?

可取n=(1,0,2),

DA是平面MCD的法向量,因此

→n·DA5→

cos〈n,DA〉==,

→5|n||DA|