发布时间 : 星期六 文章2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析（详细解答）更新完毕开始阅读96af9c7e0740be1e640e9a2e
2015年浙江省高中数学竞赛试卷
说明：（1）本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。
（2）考试不允许携带计算机或计算器。
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）
2y2x1、“a=2，b=2”是“曲线C: 2?2?1(a,b?R,ab?0)经过点(2，1)”的 ab （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m，m+1，m+2，则实数m的取值范围为（ ）
A.m>1
B.1 2C. 3 2D.m>3 3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BB1的中点， 则二面角M－CD1－A的余弦值为 （ ） A.3 6 B.1 2 C.3 3 D.6 3??a?b?2?04、若实数a，b满足?b?a?1?0，则a?2b的最大值为 （ ） 2a?b??a?1A.1 B.5 4 C.7 5 D.2 5、已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积 S?PQR分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为 S?ABCA.1 （ ） 2 B.1 3 C.1 4 D.1 56、已知数列{an}的通项an= nx(x?1)(2x?1)C.?9 (nx?1)，n∈N*，若a1+a2+…+a2015<1，则实数x等于 （ ） A.?3 2B.?5 1240D.?11 607、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积 不可能等于 （ ） ．．． A.16 17 B.36 5 C.26 5 D.196 538、若集合A={(m，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m∈Z， n∈N*}，则集合A的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分） 9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(2)=1，则f(1000)= 3310、若数列{an}的前n项和Sn=n－n，n∈N*，则 32 2015i?11＝ ?a?8i?2i11、已知F为抛物线y2=5x的焦点，点A(3，1)，M是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最小值时， 点M的坐标为 12、若16sin2x?16cosx?10，则cos4x= 213、设函数f(x)=min{x2－1，x+1，－x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者。若f(a+2)>f(a)， 则实数a的取值范围为 14、已知向量a，b的夹角为?，|a－b|=5，向量c－a，c－b的夹角为2?，|c－a|=23，则a·c的 33最大值为 15、设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有(ax+2)(x2+2b)≤0，则a= ，b= . 三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18题每题18分，共52分） 16、设a，b∈R，函数f(x)=ax2+b(x+1)－2.若对任意实数b，方程f(x)=x有两个相异的实根， 求实数a的取值范围。 2y23，右焦点为圆C: (x－3)2+y2=7的圆心。 x17、已知椭圆C1: 2?2?1(a?b?0)的离心率为2 2ab（I）求椭圆C1的方程； （II）若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标。 ?a?a?1n?n?1bn18、已知数列{an}，{bn}满足a1>0，b1>0，?，n∈N*.证明：a50+b50>20 1?bn?1?bn?an? 四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分） 19、已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+22an2?1，n∈N*. （I）证明：{an}是正整数数列； （II）是否存在m∈N*，使得2015|am，并说明理由。 20、设k为正整数，称数字1～3k+1的排列x1，x2，…，x3k+1为“N型”的，如果这些数满足 （1）x1 （II）证明：对任意正整数k，dk均为奇数。 2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分） x2y21．“a =2， b?2”是“曲线C：2?2?1(a,b?R,ab?0)经过点 abA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A. ?2,1”的( A )． ?x2y2解答：当a =2， b?2曲线C：2?2?1经过 ab时，即有 ?x2y22,1；当曲线C：2?2?1经过点 ab??2,1?21?2?1，显然a??2,b??2也满足上式。所以“a =2， b?2”是“曲线C：2abx2y2??1经过点a2b2?2,1”的充分不必要条件。 ?2．已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为m,m?1,m?2，则实数m的取值范围为( B )． A． m?1 B． 1?m?答案：B. 解答：由题意可知： 33 C．?m?3 D．m?3 22D1A1B1MCBC1?m?(m?1)?m?231?m?解得。 ?2222?(m?2)?m?(m?1)?m(m?1) 3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点， 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )． DA第3题图 3361 B． C． D． 6332答案：C. A． 解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 1D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)，且平面ACD1的法向量为n1?(1,1,1)，平 2面MCD1法向量为n2?(?1,2,2)。因此cos?n1,n2??33，即二面角M-CD1-A的余弦值为。 33