发布时间 : 星期三 文章排列组合常见题型解题策略zst更新完毕开始阅读9799e3b4d5bbfd0a795673d3
各有C3、C4、C5种方法。
3、由分步计数原理可得C4C3C4C5=720种
3222222八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找
出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问
这
样
的
8
人
名
单
可
以
开
出
几
张
？
4431441324423113C5C4?C5C2C4?C5C2C4?C5C4?C5C4?C5C2C1C4
变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案 ：185
九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那
么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法； 2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
1（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 C6?6种
2（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有C6?15种走
法。
4）有3次（不可能）
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）
12考虑挨着和不挨着两种情况有种C5?C5?15走法；
6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
（A）34种 （B）55种 十．排数问题（注意数字“0”）
（C）89种 （D）144种 答案： （C）
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
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5【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，
11311311313A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B.
（2）从1，2，3，?，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 【解析】 ：将I??1,2,3,100?分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A??4,8,12,100?；能被4除余
97?，能被4除余2的数集C??2,6,,98?，能被4除余3的数集
1的数集B??1,5,9,D??3,7,11,99?，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各
取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的
2112取法共有C25种. ?C25C25?C25十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥S?ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可
供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D
12四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有C5A4?60种方法。
(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A
2与B，由于A、B颜色可以交换，故有A4种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，
1211而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C5A4C2C2?240种方法。 5(3)若恰用五种颜色染色，有A5?120种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有5?4?3?60种染色方法。 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1?3?2?2?7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是60?7?420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， 对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？ 总体实施分步完成,可分为四大步:
①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法(与S不同色); ③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
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④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法 [规律小结] 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨
论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三． 几何中的排列组合问题:
xy【例1】 已知直线??1（a，b是非零常数）与圆x2?y2?100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均
ab为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：(?6,?8) ,(?8,?6),(?10,0),(0?10) 12 个
C212=66 其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有C112=12其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60
11
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