发布时间 : 星期五 文章高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：12.1 合情推理与演绎推理更新完毕开始阅读97e6f2f22bf90242a8956bec0975f46526d3a796
第1讲 合情推理与演绎推理
【2014年高考会这样考】
1．考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论． 2．考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合．
对应学生187 考点梳理
1．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 【助学·微博】 一个防范
合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
两个要点
(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性． (2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．
考点自测
1．(2013·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )． A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析 大前提是特称命题，而小前提是全称命题． 答案 C
2．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )． A．28 B．76 C．123 D．199
解析 记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123. 答案 C
3．(2013·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n≥2时，有________．
解析 分解后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差数列的和． 答案 n2＝1＋3＋…＋(2n－1)
4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为
________．
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8. 答案 1∶8
5．(2011·陕西)观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式应为________．
解析 由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
对应学生188 考向一 归纳推理
【例1】?观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，
13＝1，13＋23＝9， 13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，
1＋2＋3＋4＋5＝15，13＋23＋33＋43＋53＝225.
可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含有n的代数式表示)． [审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得结论． 解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵
1,3,6,10,15，…，第n项an与第n－1项an－1(n≥2)的差为：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，等号的左右两端分别相加得，
n?n＋1?
an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n，即an＝2，
212
∴an＝n(n＋1)2.
4
1
答案 4n2(n＋1)2
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心
观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
311314
【训练1】 (2012·青岛模拟)观察下列等式：×2＝1－22，×2＋1×21×22×3113141511
×22＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式
3×221×222×3223×4234×23推测到一个一般结论为________．
解析 观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－
1
，左n
?n＋1?2
侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左n＋23141511
侧为×2＋×22＋×23＋…＋×2n. 1×22×33×4n?n＋1?答案
n＋231415111*
×2＋×22＋×23＋…＋×2n＝1－n(n∈N) 1×22×33×4n?n＋1??n＋1?2
考向二 类比推理
【例2】?在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半