发布时间 : 星期一 文章(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理第3讲二项式定理练习(含解析) (1)更新完毕开始阅读9841975200020740be1e650e52ea551810a6c9e6
第3讲 二项式定理
一、选择题
1.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)的展开式中含x的项为( ) A.－15x4
6
4
B.15x D.20ix
r6－rr4
4
C.－20ix
6
4
解析 (x＋i)的展开式的通项为Tr＋1＝C6x的项为C6xi＝－15x，故选A. 答案 A
242
4
i(r＝0，1，2，…，6)，令r＝2，得含x4
?x－1?n2.(2017·漳州模拟)在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的
??x??
常数项为( ) A.－7 C.－28
B.7 D.28
?x－1?8
k?1?解析 依题意有＋1＝5，∴n＝8.二项式?23?的展开式的通项公式Tk＋1＝(－1)??
??2?2?x??
n8－k24
4k8－k6?1?6
C8x3，令8－k＝0得k＝6，故常数项为T7＝(－1)??C8＝7.
3?2?答案 B
3.(2015·湖北卷)已知(1＋x)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.2
3
9
n B.2
7
10
C.2
11
D.2
n－1
12
解析 由题意，Cn＝Cn，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2答案 A
＝2.故选A.
9
3?6?2
4.(2017·郑州质检)二项式?ax＋?的展开式的第二项的系为－3，则?axdx的值为
6???－2( ) 5
A. 3
r7B. 3
6－rC.3 D.
11 3
?3?rr6－r?3?r6－r解析 ∵Tr＋1＝C6(ax)??＝C6a·??x，
?6??6?
∴第二项的系数为C6a·
15
3
＝－3，∴a＝－1， 6
1
13－1?1??8?722
∴?axdx＝?－1xdx＝x|－2＝?－?－?－?＝.
3?3??3?3??
－2
－2
答案 B
?1?6
5.(2016·海口调研)若(x－a)?x＋?的展开式中x的系数为30，则a等于( )
?x?
2
10
1A. 31B. 2
10
C.1 D.2
?1??1?r10－rr10－2r解析 依题意，注意到?x＋?的展开式的通项公式是Tr＋1＝C10·x·??＝C10·x，
?x??x??x＋1?的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C3、C2，因此由题
?x?1010??
意得C10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2，选D. 答案 D
6.已知Cn＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn等于( ) A.63
B.64
0
1
22
0
1
22
33
3
2
r10
nn123n C.31
33
D.32
nnnnn6
解析 逆用二项式定理得Cn＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3＝729，即3＝3，所以n＝6，所以Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2－Cn＝64－1＝63.故选A. 答案 A
7.若(1＋x)＋(1＋x)＋…＋(1＋x)＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)＋…＋an(1－x)，则a0－a1＋a2－…＋(－1)an等于( ) 3nA.(3－1) 43nC.(3－2) 2
2
21
2
3
n60
n2nn3nB.(3－2) 43nD.(3－1) 2
3
解析 在展开式中，令x＝2得3＋3＋3＋…＋3＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)an，即a03（1－3）3n－a1＋a2－a3＋…＋(－1)an＝＝(3－1).
1－32
nnnn答案 D
8.(2017·九江模拟)(x－x＋1)展开式中x项的系数为( ) A.－210 C.30
2
10
2
10
3
2
10
B.210 D.－30
r2
10－r解析 (x－x＋1)＝[(x－x)＋1]的展开式的通项公式为Tr＋1＝C10(x－x)－x)
10－r，对于(x2
的通项公式为Tr′＋1＝(－1)C10－rxr′r′20－2r－3r′
.令20－2r－r′＝3，根据0≤r′≤10
??r＝8，??r＝7，210381
－r，r，r′∈N，解得?或?∴(x－x＋1)展开式中x项的系数为C10C2(－
?r′＝1??r′＝3，?
1)＋C10C3(－1)＝－90－120＝－210.
2
73
答案 A 二、填空题
9.(2016·北京卷)在(1－2x)的展开式中，x的系数为________(用数字作答).
解析 (1－2x)的展开式的通项公式为Tk＋1＝C6(－2x)＝C6(－2)·x，令k＝2得x的系数为C6(－2)＝60. 答案 60
2
2
6
6
2
kkkkk2
?ax2＋1?55
10.(2016·山东卷)若??的展开式中x的系数是－80，则实数a＝________(用数
x??
字作答).
r5r5?ax2＋1?5r25－r－r5－r10－
解析 ??的展开式的通项Tr＋1＝C5(ax)·x2＝C5a·x2，令10－2r＝5，得
x??3
r＝2，所以C25a＝－80，解得a＝－2.
答案 －2
11.若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)，其中a0，
5
2
5
a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________(用数字作答).
解析 f(x)＝x＝(1＋x－1)，它的通项为Tk＋1＝C5(1＋x)＝10(1＋x)，∴a3＝10. 答案 10
12.若(1＋x＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a12x，则a2＋a4＋…＋a12＝________(用数字作答). 解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝3，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a03＋13＋1＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，得a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
22答案 364
13.(2017·青岛模拟)已知(x＋1)＝a1＋a2x＋a3x＋…＋a11x.若数列a1，a2，a3，…，
10
2
10
6
6
6
26
2
12
3
5
5
k5－k·(－1)，T3＝C5(1＋x)(－1)
k232
ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A.5
B.6
n－1
C.7 D.8
10
解析 由二项式定理知an＝C10(n＝1，2，3，…，n).又(x＋1)展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a6＝C10，则k的最大值为6. 答案 B
14.在(1＋x)(1＋y)的展开式中，记xy项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( ) A.45 C.120
6
6
4
5
mn
mB.60 D.210
m4
解析 在(1＋x)的展开式中，x的系数为C6，在(1＋y)的展开式中，y的系数为C4，故
nn 3
n30211203
f(m，n)＝CmC4.所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C6C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120. 6·
答案 C
?x＋3?n15.(2017·合肥模拟)已知二项式??的展开式中，各项系数的和与其各项二项式
x??
系数的和之比为64，则展开式中x的系数为________.
4rr3－r解析 由已知得n＝64，所以n＝6.展开式的通项为Tr＋1＝3C6x，令3－r＝1得r＝2，
n2所以x的系数为9C2
6＝135. 答案 135
3
16.若(2＋x＋x2
)??1?1－x???
的展开式中的常数项为a，则 ?a2
?(3x－1)dx＝________. 0
3
解析 ∵???1－1x???
＝1－3x＋31x2＋x3， 3
∴(2＋x＋x2
)·??1?1－x???
的展开式中的常数项为a＝2×1＋1×(－3)＋1×3＝2.
故?a(3x2－1)dx＝(x3－x)|2
?0＝6.
0
答案 6
4