发布时间 : 星期三 文章2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破：第十二章 第1讲 数系的扩充与复数的引入更新完毕开始阅读98e15462b1717fd5360cba1aa8114431b90d8eb2
[基础题组练]
1．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1－i)(x－yi)＝( )
A．2 C．－4
B．－2i D．2i
??－1＝－y，解析：选B.xi－y＝－1＋i，得?
??x＝1，
所以x＝1，y＝1，
所以(1－i)(x－yi)＝(1－i)(1－i)＝－2i，故选B.
1－i
2．(2020·辽宁辽南协作体一模)已知i是虚数单位，复数z＝，下列说法正确的是( )
|i|A．z的虚部为－i B．z对应的点在第一象限 C．z的实部为－1 D．z的共轭复数为1＋i
1－i
解析：选D.因为z＝＝1－i，所以z的虚部为－1；z对应的点的坐标为(1，－1)，在第四象限；z
|i|的实部为1；z的共轭复数为1＋i.故选D.
（2＋ai）i
3．(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知复数z＝是纯虚数，其中a是实数，则z等于( )
1＋iA．2i C．i
B．－2i D．－i
（2＋ai）i－a＋2i（－a＋2i）（1－i）2－aa＋22－a
解析：选A.z＝＝＝＝＋i，因为z为纯虚数，所以
2221＋i1＋i（1＋i）（1－i）a＋2
＝0，≠0，得a＝2.所以z＝2i，故选A.
2
4．(2020·云南民族大学附属中学期中)复数z满足z(1－i)＝|1＋i|，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选D.因为z(1－i)＝|1＋i|， |1＋i|2（1＋i）22
所以z＝＝＝＋i，
2221－i所以z＝
22－i， 22
22?
，位于第四象限，故选D. ，－2??2
所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点为?1
5．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝ ．
1＋i
1－i1－i111
解析：因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝
2221＋i（1＋i）（1－i）答案：
2
2
22?1?＋?1?＝2. ?2??2?2
a＋bi
6．(2020·西安八校联考)若(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝ ．
i
a＋bi（a＋bi）（－i）a＋bi
22互解析：因为＝＝b－ai，(2－i)＝4－4i－1＝3－4i，(a，b∈R)与(2－i)
ii－i2
为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，则a－b＝－7，故答案为－7.
答案：－7
→
7．在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，→
则向量OB对应的复数为 ．
→
解析：因为A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以向量OB对应的复数为－2＋i. 答案：－2＋i
（1＋2i）2＋3（1－i）
8．计算：(1)；
2＋i1－i1＋i(2)＋； 2
（1＋i）（1－i）21－3i(3). （3＋i）2
（1＋2i）2＋3（1－i）－3＋4i＋3－3i
解：(1)＝ 2＋i2＋i＝
i（2－i）12i
＝＝＋i.
5552＋i
1－i1＋i1－i1＋i1＋i－1＋i(2)＋＝＋＝＋＝－1. 222i2（1＋i）（1－i）－2i－2（3＋i）（－i）－i（－i）（3－i）(3)＝＝＝
4（3＋i）2（3＋i）23＋i
1－3i13
＝－－i.
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[综合题组练]
1．已知复数z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) π
A．θ＝
43π
C．θ＝
4
π
B．θ＝
25π
D．θ＝
4
解析：选C.z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于
??cos θ＋sin θ＝0，3π
等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C. ?4
??cos θ－sin θ≠0，
y
2．(应用型)(2020·成都第二次诊断性检测)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为3，则的最大值是( )
xA.3 2
B.3 3
1C. 2
解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数，
D．3
所以y≠0，
又因为|(x－2)＋yi|＝3， 所以(x－2)2＋y2＝3.
y
因为是复数x＋yi对应点的斜率，
xy?所以??x?
max
＝tan∠AOB＝3，
y
所以的最大值为3. x
1＋2z
3．设复数z满足＝i，则z＝ ．
1－z
1＋2zi－1（i－1）（2－i）13
解析：法一：因为＝i，所以1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.
5551－z2＋i1＋2z
法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝i，所以1＋2(a＋bi)＝i－i(a＋bi)，所以2a＋1＋2bi＝b＋
1－z
?a＝－5??2a＋1＝b13
(1－a)i，所以?，解得?，所以z＝－＋i.
553??2b＝1－ab＝?5
13
答案：－＋i
55
i＋i2＋i3＋…＋i2 018
4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为 ．
1＋i解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 018＝4×504＋2， i＋i2＋i3＋…＋i2 018i＋i2－1＋i
所以z＝＝＝
1＋i1＋i1＋i
（－1＋i）（1－i）2i
＝＝＝i，对应的点的坐标为(0，1)．
2（1＋i）（1－i）答案：(0，1)
1