高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案) 联系客服

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个单位长度,得到曲线C2

【解析】:熟悉两种常见的三角函数变换,先变周期和先变相位不一致。 先变周期:

????2????y?cosx?sin?x???y?sin?2x???y?sin?2x?2?2?3???先变相位:

????????sin2x???????

12?2?????????2??2??????y?cosx?sin?x???y?sin?x????sin?x??y?sin2x????

2?26?3?3?????选D。【考点】:三角函数的变换。

解三角形(8题,3小5大)

一、解三角形(知一求一、知二求最值、知三可解)

1.(2016年2卷13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA?45,cosC?,513a?1,则b? .

【解析】∵cosA?45312,cosC?,sinA?,sinC?,51351363ba21?,由正弦定理得:解得b?.

65sinBsinA13sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?

2. (2017年2卷17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin?A?C??8sin2B. 2(1)求cosB;

(2)若a?c?6,△ABC的面积为2,求b.

解析 (1)依题得sinB?8sin2B1?cosB?8??4(1?cosB). 22因为sin2B?cos2B?1,所以16(1?cosB)2?cos2B?1,所以(17cosB?15)(cosB?1)?0,得cosB?1(舍去)或cosB?15. 17(2)由⑴可知sinB?178118,因为S△ABC?2,所以ac?sinB?2,即ac??2,得ac?.

217221715a2?c2?b215?,即a2?c2?b2?15,从而(a?c)2?2ac?b2?15, 因为cosB?,所以

172ac17即36?17?b2?15,解得b?2.

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3.(2016年1卷17)?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

2cosC(acosB+bcosA)?c.

(I)求C; (II)若c?7,?ABC的面积为33,求ABC的周长. 2

【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC, 2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0, 1π所以2cosC=1,cosC=.因为C∈(0,π),所以C=.

231222222

(2)由余弦定理得:c=a+b-2ab·cosC,7=a+b-2ab·,(a+b)-3ab=7,

233312

S=ab·sinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)-18=7,a+b=5,

422所以△ABC的周长为a+b+c=5+7.

4. (2017年1卷17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABCa2的面积为.

3sinA(1)求sinBsinC的值;

(2)若6cosBcosC?1,a?3,求△ABC的周长.

1a2a21?bcsinA,即解析 (1)因为△ABC的面积S?且S?bcsinA,所以

23sinA3sinA233a2?bcsin2A.由正弦定理得sin2A?sinBsinCsin2A,由sinA?0,得

222sinBsinC?.

321(2)由(1)得sinBsinC?,又cosBcosC?,因为A?B?C?π,

361所以cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC?.

213又因为A??0,π?,所以A?60,sinA?,cosA?.

22由余弦定理得a2?b2?c2?bc?9 ①

aaa2?sinB,c??sinC,所以bc??sinBsinC?8 ② 由正弦定理得b?sinAsinAsin2A由①,②,得b?c?33,所以a?b?c?3?33,即△ABC周长为3?33.

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5. (2015年1卷16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围 .

【解析1】如图所示,延长BA,CD交于E,平移AD,当A与D重合与E点时,AB最长,在△BCE中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得

BCBE2BE,即,解得??sin?Esin?Csin30osin75oBE=6+2,平移AD ,当D与C重合时,AB最短,此时与AB

交于F,在△BCF中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知,

BFBCBF2,即,解得??oosin?FCBsin?BFCsin30sin75BF=6?2,所以AB的取值范围为(6?2,6+2). 考点:正余弦定理;数形结合思想

二、分割两个三角形的解三角形问题 6.(2016年3卷8)在△ABC中,B=(A)

【解析】设BC边上的高线为AD,则BC?3AD,所以AC?π1,BC边上的高等于BC,则cosA=( ) 433101010310 (B) (C)- (D)- 10101010AD2?DC2?5AD,

AB?2AD.由余弦定理,知

AB2?AC2?BC22AD2?5AD2?9AD210,故选C.考点:余弦定理. cosA????2AB?AC102?2AD?5AD

7.(2017年3卷17)已知sinA?3cosA?0,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,

a?27,b?2.

(1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且AD ?AC,求△ABD的面积.

π?π?解析 (1)由sinA?3cosA?0,得2sin?A???0,即A??kπ?k?Z?,

3?3?2ππ又A??0,π?,所以A??π,得A?.由余弦定理得a2?b2?c2?2bc?cosA.

3312又因为a?27,b?2,cosA??代入并整理得?c?1??25,解得c?4.

2。

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a2?b2?c227(2)因为AC?2,BC?27,AB?4,由余弦定理得cosC?. ?2ab7因为AC?AD,即△ACD为直角三角形,则AC?CD?cosC,得CD?7.

从而点D为BC的中点,S△ABD?111SABC???AB?AC?sinA?3. 222

8.(2015年2卷17)?ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,?ABD是?ADC面积的2倍。 (Ⅰ)求

sin?B

sin?C2,求BD和AC的长 2(Ⅱ) 若AD?1,DC?

【解析】(1)S△ABD=

11错误!未找到引用源。AB·ADsin∠BAD,S△ADC=错误!未找到引用源。22AC·ADsin∠CAD,因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得错误!未找到

引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.

(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=错误!未找到引用源。.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知, 222222AB=AD+BD-2AD·BDcos∠ADB,AC=AD+DC-2AD·DCcos∠ADC,

22222

故AB+2AC=3AD+BD+2DC=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

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