发布时间 : 星期二 文章中考数学专题复习：与圆有关的极值问题（教师）更新完毕开始阅读996e17b4a1c7aa00b52acb88
2015年中考专题-圆
第二讲与圆有关的极值问题
1、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，求∠OAP的最大值。
2、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，求GE+FH的最大值。
解、连接OA，OB，
因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，
所以EF= =3.5，因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5
C
C G
H E F
A B
第2题图
4、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，求弦BC的长的最小值。
解：根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
解答： 解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4）， ∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦， ∵点D的坐标是（3，4）， ∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， ∴圆的半径为13， ∴OB=13，
∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；
5、设AB是⊙O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A 、B，⊙O的半径为r，求OA＋OB的最小值。
解：设OA＝x，OB＝y观察图形可看出Rt?AOB中，斜边AB上的高OP＝r为定值，则AB越小，其面积越小，当OA＝OB时，面积最小，此时，x?y?22r也最小，?OA?OB的最小值为22r。
6、如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切， E与圆O上一点．若圆O的半径为4，且AB=7，求DE的最大值
解：当点E运动到DE连线经过圆心O时，DE最大为9
y B P r O A x
7、如图6， 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，求线段PQ长度的最小值
解：因为AB=10，AC=8，BC=6 即：AB2=AC2+BC2 故：∠C=90° 故：PQ是所求圆的直径 要使PQ最小，就是使该圆的直径最小 明显地，C到AB的垂线段最短 如果过C作CM⊥AB，M为垂足 即：CM为直径时，PQ最小，且PQ=CM 因为S△ABC=1/2?BC?AC=1/2?AB?CM 故：PQ=CM=4.8
8、如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，求CQ的最大值 解：∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°， ∵tan∠ABC=
，∴
=，
∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P， ∴△ACB∽△PCQ，∴
=
，∴CQ=
?PC=PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=
．
9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．AC，BC，当点C在⊙O上运动时，求出△ABC的面积的最大值．
∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6， ∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图， 此时C点到AB的距离的最大值为CE的长， ∵△OAB为等腰直角三角形， ∴AB=
OA=6
，∴OE=AB=3，
）×6
=9
+18．
，
∴CE=OC+CE=3+3
△ABC的面积=CE?AB=×（3+3
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时， △ABC的面积最大，最大值为9+18．
10、如图，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°， B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，求BP+AP的最小值
11、如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，求线段EF长度的最小值
由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。
1∠EOF=∠BAC=60°， 233∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=。
22由圆周角定理可知∠EOH=由垂径定理可知EF=2EH=3。
12、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，求m的最小值．
解：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小， AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=5， ∵∠BOA=∠AC′O=90°，
∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°， ∴∠BOC′=∠OAC′， tan∠BOC=
yBCxOAOC?5?， AC?2随着C的移动，∠BOC越来越大，
但不到E点，即∠BOC＜90°， ∴tan∠BOC≥55，∴ m…． 22