发布时间 : 星期四 文章电磁场与电磁波课后习题答案（杨儒贵编着）（第二版）第7章更新完毕开始阅读99bb6c492e3f5727a5e96297
第七章 时变电磁场
7-1 设真空中电荷量为q的点电荷以速度v(v??c)向正z方向匀速运动，在t = 0时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流。（不考虑滞后效应）
dz=vdt vt ? o ?z r R ? P(r,?,z) ?x
习题图7-1
解 选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位 置为(0, 0,vt)，且产生的场强与角度?无关，如习题图7-1 所示。设P(r,? , z)为空间任一点，则点电荷在P点产生的电场强度为
E?qR4??0R3，
其中R为点电荷到P点的位置矢量，即R?err?ez(z?vt)。那么，由Jd?Jd?er?D?t??0?E?t，得
?ez3qrv?z?vt?4?r??z?vt?2?2?52?4??rqv2?z?vt??r222??z?vt?2?5?。
2
7-2 已知真空平板电容器的极板面积为S，间距为d，当外加电压V?V0sin? t时，计算电容器中的位移电流，且证明它等于引线中的传导电流。
1
解 在电容器中电场为E?V0dsin? t，则
Jd??D?t??0? V0dcos? t，
所以产生的位移电流为
Id?JdS??0? SV0dcos? t；
Sd已知真空平板电容器的电容为C??0Q?CV?CV0sin?t，则传导电流为
，所带电量为
I?dQdt?CV0?cos? t??0?SV0dcos? t；
可见，位移电流与传导电流相等。
7-3 已知正弦电磁场的频率为100GHz，试求铜及淡水中位移电流密度与传导电流密度之比。
解 设电场随时间正弦变化，且E?exEmsin? t，则位移电流
Jd??D?t?ex?r?0?Emcos? t，
其振幅值为Jd??r?0?Em
传导电流J??E?ex?Emsin?t，振幅为J??Em，可见
JdJ??r?0??；
在海水中，?r?81，??4S/m，则
JdJ81??136??10?9?2??10114?112.5；
在铜中，?r?1，??5.8?107S/m，则
2
JdJ1??136??10?9?2??107115.8?10?9.58?10?8。
7-4 设真空中的磁感应强度为
B(t)?ey10?3sin(6??10t?kz)
8试求空间位移电流密度的瞬时值。 解 由麦克斯韦方程知??H?J?流J?0，则位移电流为
Jd??D?t???H?1??B，
?D?t，而真空中传导电
?求得
Jd??ex10??ex1024?3k0?0sin(6??10t?kz)8
82sin(6??10t?kz)(A/m)7-5 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变换具有不变性
?E??Ecos??cBsin??E??B??sin??Bcos??c?
式中c?1/? 0? 0为真空中的光速。
证明 由于真空中，J?0，??0，那么，E及B应满足的麦克斯韦方程可简化为
??B?B???E????t????E????t， 即 。 ???E1?D????H????B???t???t?00?将E?及B?代入该方程，即得
而
3
??E????(Ecos??cBsin?)，
-??B??tc????t(?Ecsin??Bcos?)?B?t?sin?c?0?0sin??E?t
??B?cos???Ε?cos?式中c?-1?0?0?B??t。因此，上式可简化为
?csin???B?cos???E???(Ecos??cBsin?)
即 -?B??t???E?；
同理可证，
?E??t?1?0?0??B?，即麦克斯韦方程对该变
换具有不变性。
7-6 对于上题中的变换，试证总能量密度
1?122??E?? 0H?也具有不变性。 ? 02?2?证明 变换后的总能量密度为
w??12?0E??212?0H??212(?0E??2B?2?0)
分别将变换后的E?及B?代入得，
w??12[?0(Ecos??cBsin??2cEBsin?cos?)?22222
1?0(Ec22sin??Bcos??2222EBcsin?cos?)]
考虑到c?1?0?0w??12，代入上式，得
(?0E?21?0B)?212(?0E??0H)
227-7 用直接代入法证明式（7-5-3）是式（7-5-1）的解。 证明 我们首先求出7-5-3式的一阶偏导数得，
?(? r)?r
?f1?r(t?rv)(?1v)?f2?r(t?1)()vvr，
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