发布时间 : 星期二 文章实变函数期末试卷更新完毕开始阅读99bc5befd4d8d15abf234e28
一、判断题：（每小题2分，共26分）
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1．若有A的子集A，使B~A*,及B的子集B，使A~B*,则A~B。 （ ）
2．存在非空集合A满足2A?A.。 （ ） 3．集合E的聚点一定属于E。 （ ） 4．任意个开集之交仍为开集。 （ ） 5．可测集的任何子集都可测。 （ ） 6．若A?B，则m*A?m*B。 （ ） 7．开集、闭集皆可测。 （ ） 8．若mE?0，则mE?0。 （ ）
9．若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数 （ ） 10．设f(x)在可测集E上积分确定，若?x?E,f(x)?0，则
?Ef(x)dx?0。
（ ）
11．设f(x)是区间[a,b]上的有界变差函数，则f(x)在区间[a,b]上几乎处处存在导数。
（ ）
12．设{fn(x)}是可测集E上的可测函数列，且满足limfn(x)?f(x) (?x?E)。如果存
n??在常数M?0，使得|f(x)|?M(?x?E)，则f(x)在E上L可积，且有
?Ef(x)dx?lim?fn(x)dx。 （ ）
n??E13．设A和B是两个可测集合，且A~B，则mA?mB。 （ ）
二、单项选择题：（每小题3分，共15分） 1. 以下叙述错误的是（ ）
A、 有限集与可数集的并仍为可数集； B、有限个可数集的并仍为可数集；
C、可数个可数集的并为不可数集； D、 任何无限集合均含有可数子集。
?2. 设mE??，f(x)和{fn(x)}n?1是E上的可测函数，则fn(x)在E上基本上一致收敛于
f(x)是fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)的 ( ) A、充分必要条件； B、充分非必要条件；
C、必要非充分条件； D、无关条件.
3. 对于R的任意非空子集E，P0?R，下列说法不正确的是（ ）
《实变函数》试题
nnA、若PE中无穷多个点，则PE的聚点； 0的任一领域内都有0是B、若PE中异于PE的聚点； 0的任一领域内至少有一个0的点，则P0是
C、内点必是聚点；
E的聚点。 D、若存在E中点列?Pn?P0(n??)，则P0是n?，使P4. 设E是可测集， {fn(x)}和f(x)是E上的可测函数，则fn(x)在E上基本上一致收敛于f(x)是fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)的 ( )
A、充分必要条件； B、充分非必要条件；
C、必要非充分条件； D、无关条件。
5. 设f(x)在E上L可积, 则下面不成立的是（ ）
A、f(x)在E上可测； B、f(x)在E上a.e.有限；
C、f(x)在E上有界； D、f(x)在E上L可积。
三、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设E是区间[a,b]上的有界变差函数f(x)的不连续点全体所成之集，则mE?___ ___。 2. 设P为Cantor集，则 P? ，mP?__ ___，P=__ ____。 3. 设A2k?1?(1,3)， A2k?(2,5]，A?limAn，则mA? 。
n??o4. 设{fn(x)}和f(x)都是可测集E上的可测函数，且fn(x)?f(x)，则存在
{fnk(x)}?{fn(x)}，使得 。
5. 设集合列{En}满足条件：E1?E2?
四、解答题：（每小题8分，共16分，）
1、设E1表示[0,?中的全体无理数所构成的集合，E2表示[0,?中的全体有理数所构成的2]2]?En?En?1?，则limEn? 。
n???????? x?E1，?cosx，集合，f(x)＝?，证明f(x)在[0,?上Lebesgue可积，并计算2]arcsinxx?e， x?E?2?[0,?]2f(x)dx的值.
1nx32010cosnxdx. 2、求极限lim(R)?01?n2x2n??
《实变函数》试题
五、证明题：（每小7分，共28分，）
1、 设A,B?Rn且m*B??。 证明：如果A是可测集，则
m*(AB)?mA?m*B?m*(AB)
2．设f(x)是???,???上的实值连续函数，则对于任意常数a,E?{x|f(x)?a}是闭集。 3．设f(x)在E上积分确定，且f(x)?g(x)a.e于E，则g(x)在E上也积分确定，且
?
Ef(x)dx??g(x)dx
E4．设在E上fn(x)?f(x),而fn(x)?gn(x)a.e.成立,n?1,2,?,则有gn(x)?f(x)
《实变函数》试题