发布时间 : 星期五 文章宁夏银川二中2011届高三模拟试题（一）更新完毕开始阅读9a39d40716fc700abb68fc0c
33，②sin2150+cos2450+sin150cos450=， 443③sin2450+cos2750+sin450cos750=，……，
4①sin2300+cos2600+sin300cos600=
那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__ _____. 【答案】（13）7
（14）一
（15）2
（16）sin2 + cos2 （30°+x）=
3，本题答案不唯一，与之等价的均可。 4三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） (17)（本小题满分12分）
已知函数f(x)=x2－ax+b (a,b∈R)的图像经过坐标原点，且f?(1)?1，数列{an}的前n项和Sn=f(n)（n∈N*）.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ）若数列{bn}满足an?1+log3n = log3bn,求数列{bn}的前n项和.
【解析】（I）∵y?f(x)的图像过原点，∴f(x)?x?ax
由f'(x)?2x?a得f'(1)?2?a?1，∴a = 1，∴f(x)?x?x
22…………3分
222∴Sn?n?n，an?Sn?Sn?1?n?n?[(n?1)?(n?1)]?2n?2，（n?2）…4分 ?∵a1?S1?0，所以，数列?an?的通项公式为an?2n?2(n?N)。 2n（II）由an?1?log3n?log3bn得bn?n?3(n?N?)。
…………6分 …………8分
2462n∴Tn?b1?b2?b3???bn?1?3?2?3?3?3???n?3………（1）…………9分 4682n?2∴9Tn?3?2?3?3?3???n?3
6…………（2），
2n2n?2…………10分
（2）—（1）得8Tn?n?32n?2?9?(3?3???3)?n?3432n?2?34?，…11分
8
…………12分
n?32n?232n?81(8n?1)32n?9??∴Tn? 86464
（18）（本小题满分12分）
为了了解某市工人开展体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂. （Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数； （Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
本卷第9页（共14页）
【解析】：（I）工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为
71?…3分 639 所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2。…………6分
（II）设A1，A2为在A区中的抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，
C1，C2为在C区中抽得的2个工厂。 …………7分 这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有
1?7?6?21种。…………8分 2随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有（A1，A2），（A1，B2），（A1，B1）， （A1，B3）（A1，C2），（A1，C1）， …………9分 同理A2还能给合5种，一共有11种。 …………10分 所以所求的概率为p?11。 21 …………12分
(19)(本小题满分12分)
如图5，平面ABDE⊥平面ABC，AC?BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD//AE，BD?BA，AE=2BD=4，O、M分别为CE、AB的中点. (Ⅰ) 证明：OD//平面ABC； E (Ⅱ）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？ 若能，请指出点N的位置，并加以证明； 若不能，请说明理由.
O【解析】：（I）证明：取AC中点F，连结OF、FB. ∵F是AC的中点，O为CE的中点， ∴OF∥EA且OF=
∴OF∥DB，OF=DB，
∴四边形BDOF是平行四边形。 MB∴OD∥FB …………4分
又∵FB?平面ABC，OD?平面ABC，∴OD∥面ABC。 …………6分 （II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。 …………7分 证明：取EM中点N，连结ON、CM， AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB， 又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE?面ABC=AB，CM?面ABC， ∴CM⊥面ABDE， ∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM， ∴ON⊥平面ABDE。 …………12分 （20）（本小题满分12分）
设函数f(x)=lnx，g(x)=ax+
11EA， 又BD∥AE且BD=AE，
22ADCb，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且x在此点处f(x)与g(x)有公切线. (Ⅰ) 求a、b的值；
(Ⅱ) 设x>0，试比较f(x)与g(x)的大小. 【解析】：（I）∵f(x)?1b，g'(x)?a?2， xx …………2分
∴由题意可得：??a?b?011?a?,b??。
22?a?b?1本卷第10页（共14页）
…………5分
（11）由（I）可知g(x)?
1111(x?)，令F(x)?f(x)?g(x)?Inx?(x?)。 2x2x111112112∵F'(x)??(1?2)??(1?2?)??(1?)?0， …………8分
x22x2xxx∴F(x)是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0， ∴当x?(0,1)时，F(x)?0，有f(x)?g(x)； 当x?(1,??)时，F(x)?0，有f(x)?g(x)； 当x=1时，F(x)?0，有f(x)?g(x)。
…………12分
…………9分
（21）（本小题满分12分）
设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A(－1，0)，B(1，0)且MG//AB. (Ⅰ) 求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
(Ⅱ) 设顶点C的轨迹为D，已知直线l过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，满足OP⊥ON，求直线l的方程. 【解析】：（I）设C（x，y）（xy≠0） …………1分 ∵MG∥AB，可设G（a ,b），则M（0，b）.
∴x?3a,y?3b
(1)
…………3分
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|， 即
1?b2?x2?(b?y)2
2 （2） …………4分
y2?1. 由（1）（2）得x?3y2?1(xy?0). 所以三角形顶点C的轨迹方程为x?32 …………6分
（II）设直线l的方程为y?kx?1，P(x1,y1)，N(x2,y2)，
?y?kx?1?22由?2y2消y得(3?k)x?2kx?2?0。
?1?x?3?2 …………8分
∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴△=b?4ac?4k?8(3?k)?0， 又x1?x2??222k2x?x??，。 13?k23?k2∵OP?ON，∴x1x2?y1y2?0，∴x1x2?(kx1?1)(kx2?1)?0 …………6分
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∴(1?k(?2322kk??，∴。 )?k(?)?1?02233?k3?k3x?1。 3
…………11分
∴直线l的方程为y?? …………12分
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已经⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE. (Ⅰ) 求证：AG·EF=CE·GD；
GFEF2?(Ⅱ) 求证： AGCE2证明：（I）连结AB、AC，∵AD为⊙M的直径， ∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径， ∴∠CEF＝∠AGD=90°. …………2分 ∵∠DFC=∠CFE，∴ ∠ECF=∠GDF，
∵G为孤BD中点，∴∠DAG=∠GDF.…………4分
∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD …………5分 ∴
CEAG， ∴AG·EF = CE·GD ?EFGD …………6分
（II）由（I）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G， ∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG·GF
…………8分 …………10分
EF2GD2GFEF2??由（I）知，∴ 222AGCEAGCE
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C1?（Ⅰ）当?=
?x?1?tcos??x?cos?（t为参数），C2?（?为参数），
y?tsin?y?sin????时，求C1与C2的交点坐标； 3（Ⅱ）过坐标原点O作 C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当?变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 【解析】：（1）当a??322时，C1的普通方程为y?3(x?1)，C2的普通方程为x?y?1，
联立方程组??13?y?3(x?1))。……5分 ，解得C1与C2的交点坐标为（1，0），(,?2222??x?y?1（2）C1的普通方程为xsina?ycosa?sina?0，A点坐标为(sina?cosasina)，
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