发布时间 : 星期二 文章2018版高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用理更新完毕开始阅读9aa02dd0a1116c175f0e7cd184254b35eefd1a86
4cb所以+≥2bc4cb·=4.
bc4cb当且仅当=时等号成立.
bc2141
由此可得b=2c,且b+c=1,即b=,c=时,+取得最小值9.
33bc(2)an=a1+(n-1)d=n,Sn=
n?1+n?
2
,
n?1+n?
Sn+8
∴=an1(22
16
2
+8
n9
116
=(n++1)≥ 2nn·+1)=,
n2
当且仅当n=4时取等号. ∴
Sn+89的最小值是. an2
命题点2 求参数值或取值范围
31m例5 (1)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为( )
aba+3bA.9 B.12 C.18 D.24
x2+ax+11*
(2)已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N,f(x)≥3恒成立,则a的取值
x+1
范围是________.
8
答案 (1)B (2)[-,+∞)
331m解析 (1)由+≥,
aba+3b319ba得m≤(a+3b)(+)=++6.
abab9ba9ba又++6≥29+6=12(当且仅当=时等号成立),
abab∴m≤12,∴m的最大值为12.
x2+ax+118
(2)对任意x∈N,f(x)≥3恒成立,即≥3恒成立,即知a≥-(x+)+3.
x+1x*
817*
设g(x)=x+,x∈N,则g(2)=6,g(3)=. x317
∵g(2)>g(3),∴g(x)min=,
3
9
88
∴-(x+)+3≤-,
x3
88
∴a≥-,故a的取值范围是[-,+∞).
33
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.
(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
(3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.
(1)(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)=x++2的值域为(-∞,
0]∪[4,+∞),则a的值是( ) 13
A. B. C.1 D.2 22
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,14
则+的最小值为( )
axmn35925A. B. C. D. 2346答案 (1)C (2)A
解析 (1)由题意可得a>0,
①当x>0时,f(x)=x++2≥2a+2,当且仅当x=a时取等号; ②当x<0时,f(x)=x++2≤-2a+2, 当且仅当x=-a时取等号,
axax?2-2a=0,所以?
?2a+2=4,
解得a=1,故选C.
6
5
4
(2)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,可得a1q=a1q+2a1q, 所以q-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍去). 因为aman=4a1,所以q所以2
m+n-2
4
2
m+n-2
=16,
=2,所以m+n=6.
14114所以+=(m+n)(+) mn6mn 10
1n4m=(5++) 6mn1
≥(5+26
n4m3·)=. mn2nn4m当且仅当=时,等号成立,
m又m+n=6,解得m=2,n=4,符合题意. 143故+的最小值等于. mn2
9.利用基本不等式求最值
12
典例 (1)已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.
xy3
(2)函数y=1-2x-(x<0)的值域为________.
x错解展示
12
解析 (1)∵x>0,y>0,∴1=+≥22
xyxy,
∴xy≥22,∴x+y≥2xy=42, ∴x+y的最小值为42.
33
(2)∵2x+≥26,∴y=1-2x-≤1-26.
xx3
∴函数y=1-2x-(x<0)的值域为(-∞,1-26].
x答案 (1)42 (2)(-∞,1-26] 现场纠错
解析 (1)∵x>0,y>0, 12
∴x+y=(x+y)(+)
xyy2x=3++≥3+22(当且仅当y=2x时取等号),
xy∴当x=2+1,y=2+2时,(x+y)min=3+22. 33
(2)∵x<0,∴y=1-2x-=1+(-2x)+(-)≥1+2
xx3
?-2x?·=1+26,当且仅
-x 11
当x=-
63
时取等号,故函数y=1-2x-(x<0)的值域为[1+26,+∞). 2x答案 (1)3+22 (2)[1+26,+∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件:一正二定三相等;多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( A.a+b≥2ab B.a+bba≥2 C.|a+b|≥2 D.a2
+b2
ba>2ab
答案 C
解析 因为a和b同号,所以|a+b|=|a|+|bbababa|≥2. 2.下列不等式一定成立的是( ) A.lg(x2
+14)>lg x(x>0)
B.sin x+
1
sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2
+1≥2|x|(x∈R) D.
1
x2
+1
>1(x∈R) 答案 C
解析 当x>0时,x2
+114≥2·x·2=x,
所以lg(x2
+14)≥lg x(x>0),
故选项A不正确;
运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定, 故选项B不正确;
由基本不等式可知,选项C正确; 当x=0时,有1
x2
+1
=1,故选项D不正确. )
12