声学基础课后答案 联系客服

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习题1

1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f,质量为m,求它的弹性系数。

解:由公式fo?12?Km得: MmKm?(2?f)2m

1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着,绳子一端固定构成一单摆,如图所示,假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问:

(1) 当这一质点被拉离平衡位置?时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示? (2) 当外力去掉后,质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动,它的振动频率应如何表示? (答:f0?12?g,g为重力加速度) l

图 习题1-2

解:(1)如右图所示,对Mm作受力分析:它受重力Mmg,方向竖直向下;受沿绳方向的拉力T,这两

力的合力F就是小球摆动时的恢复力,方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?,则sin??受力分析可得:F?Mmgsin??Mmg?l

?l

(2)外力去掉后(上述拉力去掉后),小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动,加速度的方向与位

d2?移的方向相反。由牛顿定律可知:F??Mm2

dtd2??d2?g则 ?Mm2?Mmg 即 2???0,

dtldtl2 ? ?0?g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l

1-3 有一长为l的细绳,以张力T固定在两端,设在位置x0处,挂着一质量Mm,如图所示,试问: (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时,它力由何产生?并应怎样表示?

(2) 当外力去掉后,质量Mm在此恢复力的振动频率应如何表示?

(3) 当质量置于哪一位置时,振动频率最低? 解:首先对Mm进行受力分析,见右图,

Fx?Tl?x0(l?x0)??22所受到的恢复平衡的

图 习题1-3

作用下产生振动,它

?Tx0x??202?0

222222(????x0 ,?x0???x0,(l?x0)???(l?x0) 。)

Fy?T?(l?x0)??22?T?x??202

?T?l?x0?T?x0

?Tl?

x0(l?x0)Tl。

x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统,质量M?Mm,弹性系数k?(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生,大小为F?Tl?,方向为竖直向下。

x0(l?x0)(2)振动频率为??K?MTl。

x0(l?x0)Mml时,系统的振动频率最低。 2(3)对?分析可得,当x0?1-4 设有一长为l的细绳,它以张力T固定在两端,如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示:当悬有M时,绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡,并假定M离平衡位置?0的振动?位移很小,满足????0条件。

图 习题1-4

2Tcos??Mg???4??0解:如右图所示,受力分析可得 cos???0?Mg ??l1?l?2?又????0,T'?T,可得振动方程为 ?2T?0??l2d2??M2

dtd2?4T4T?????0 即 M2dtll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?0

1-5 有一质点振动系统,已知其初位移为?0,初速度为零,试求其振动位移、速度和能量。 解:设振动位移???acos(?0t??), 速度表达式为v???0?asin(?0t??)。 由于?t?0??0,vt?0?0,

代入上面两式计算可得:

???0cos?0t ;

v???0?0sin?0t。

振动能量E?11222Mmva?Mm?0?a。 221-6 有一质点振动系统,已知其初位移为?0,初速度为v0,试求其振动位移、速度、和能量。 解:如右图所示为一质点振动系统,弹簧的弹性系数为Km,质量为Mm,取正方向沿x轴,位移为?。

d2?Km22??,) ????0, 则质点自由振动方程为 (其中002Mmdt 解得 ???acos(?0t??0),

v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt21?222?????va000????cos??当??0a0??0t?0??0,vt?0?v0时, ??? ?v0?? ??0?acos(?0?2)?v???0?arctan0?0?0质点振动位移为??1?222?0?0?v0cos(?0t?arctanv0)

0?0?0质点振动速度为v??2v0?0?2?v200cos(?0t?arctan???)

002质点振动的能量为E?12Mv21222ma?2Mm(?0?0?v0) 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、?sin?t?12sin2?t,试问:

(1) 在什么时候位移最大? (2) 在什么时候速度最大?

解:???sin?t?12sin2?t,

?d?dt??cos?t??cos2?t

d2?dt2???2sin?t?2?2sin2?t。 令

d?dt?0,得:?t?2k???3或?t?2k???, 经检验后得:t?2k???3?时,位移最大。

令d2?dtt?k?或?t?2k??arccos(?12?0,得: ?4), 经检验后得:t?2k??时,速度最大。

1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示

???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

试证明 ???acos?(t??) 其中?a??221??2?2?1?2cos(??1sin?1??2sin?22??1),??arctan??

1cos1??2cos?2证明:???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)

不同振幅振动的叠加

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