发布时间 : 星期三 文章数学培优生课堂练习材料(1-4)更新完毕开始阅读9b1dbc7565ce050877321323
数学培优之向量（二）
1.
????????????已知P是△ABC所在平面内一点， PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则
黄豆落在△PBC内的概率是________．
2. 两个半径分别为r1，r2的圆M、N，公共弦AB长为3，如图所示，
??????????????????ABAMAM则·＋AN·＝________.
3. 如图，平面内有三个向量
为120°，＝
，若
与
、
、
，其中|＝|
与|＝2，|
的夹角
|
的夹角为30°，且|＝λ
+μ
（λ、μ∈R），则λ+μ的值
为 . 4.
?????????如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM·AO的
值为________．
5. 如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，G为AC与DE????????????????????的交点，且AG?3GC，若AB?a，AD?b，则用a,b表示
DGEBC????BG? . A
6. （文）如图2, OM//AB, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边
界）运动, 且OP?xOA?yOB,则x的取值范围是__________； 当x??是__________．
7. 有两个向量e1?(1,0),e2?(0,1)，今有动点P，从P0(?1,2)开始沿着与向量e1?e2相同的方向
作匀速直线运动，速度为e1?e2；另一动点Q，从Q0(?2,?1)开始沿着与向量3e1?2e2相同的方向作匀速直线运动，速度为3e1?2e2，设P,Q在时刻t?0秒时分别在P0,Q0处，则当
1时, 2y的取值范围
PQ?P0Q0时，t?_________秒．
????8. 已知向量a?(1,?2),b?(2,?)，且a与b的夹角为锐角，则实数?的取值范围是 .
试卷第5页，总8页
9. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
????????点P是MD的中点. 若AB?2， AD?1，且
?????????BAD?60?，则AP?CP? .
10. 已知两个向量e1,e2满足e1?2,e2?1且e1与e2的夹角为60?，若向量2te1?7e2与向量e1?te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围是_______________________
??????O,A,B11. 是平面上不共线三点，向量OA?a，OB?b，设
P为线段AB垂直平分线上
??????OP?p|b|?3任意一点，向量．若|a|?5，，则p?(a?b)的值是____ __．
??a,b,x,ya?x?y,b?2x?y12. 设平面上的向量满足关系，又设a与b的模为1，且互相垂直，
??????????则x与y的夹角为 。
13. 若?ABC的重心为G，AB?3,AC?4,BC?5，动点
P??满足GP?xGA?yGB?zGC（0?x,y,z?1），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 ． 14. 如图，半径为2的扇形的圆心角为120?,M,N分别为半径
OP,OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则AM??????????AN的取值范
围是 ． 15. 已知点O在
?ABC?????????????的内部，且有xOA?yOB?zOC?0，记
?AOB，?BOC，?AOC的面积分别为
S?AOB，S?BOC，S?AOC，若x?y?z?1，则
若x?2，y?3，则S?AOB:S?BOC:S?AOC? ． S?AOB:S?BOC:S?AOC? ；z?4，16. 如图：A，B是半径为1的圆O上两点，且?AOB??，若点是
C3????????圆O上任意一点，则OA·BC的取值范围是 ．
A
E数学培优生之立体几何（一）
试卷第6页，总8页
BHF DGC1. 如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成90的角，且AD?BC?a，平行于AD与BC的
截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．E在AB的上，截面EGFH的最大面积是 ． 2. 如图，在棱柱
0
ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点
P,Q，且满足
A1P?BQ，M是
棱CA上的动点，则是 ．
VM?ABQPVABC?A1B1C1?VM?ABQP的最大值
3. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1，AC1与平面A1BD，CB1D1交于E,F两点。给出以下命题，其中真命题有______ ①点E,F为线段AC1的两个三等分点；
?????2????1????1????②ED1??DC?AD?AA1；
333③设A1D1中点为M，CD的中点为N，则直线MN与面
D1A1DAEFB1CBC1A1DB有一个交点；
④E为的?A1BD内心； ⑤若
?A1AD??A1AB??BAD?600,且AA1?AB?AD?1,则三棱锥A1?ABD为正三棱锥，且|AC1|?6．
4. 某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前
爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→ ，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ． 5. 一张长、宽分别为8cm、4cm的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它卷成圆柱，则此圆柱的
体积为 ． 6. 长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知AB?AD?2，
AA1?3，
D1A1C1B1C棱AD在平面?内，则长方体在平面?内的射影所构成的图形面积的取值范围是 ．
试卷第7页，总8页
?DAB 7. 设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转（）角后能
与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_____条.
8. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一
a2个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为；类比到空间，有两个4棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
9. 棱长为4的正四面体外接球的面积为 ；
10. 如右图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q
为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).
10?CQ?2时,S为四边形; ①当1CQ?2时,S不为等腰梯形; ②当③当CQ?31C1R?4时,S与CD的交点R满足3;
113?CQ?1④当4时,S为六边形;
⑤当CQ?1时,S的面积为6. 211. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
试卷第8页，总8页