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2.2 随机变量的数学期望
本节内容包括数学期望的概念、定义和性质等。主要介绍数学期望的概念、性质及其运算。
一、数学期望的概念 1.数学期望又称期望或均值，来源于历史上著名的分赌本问题：17世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡（1623-1662）提出一个使他苦恼长久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定谁先赢三局，则得全部赌本100法郎。当甲赢了二局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。问这100法郎如何分才算公平？
分析 略。 解 略。
2.数学期望是一种加权平均。 二、数学期望的定义
1.定义 设离散随机变量X的分布列为 pi?p(x)?P(X?i如果
??ix),?i1?,2,?n , 则称
?|xi?1i|px(i?)??，
?? E(X)??xi?1ipx(i )??为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数?|xi|p(xi)i?1不收敛，则称X的数学期望不存在。
2.定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果 则称
E(X)??????|x|p(x)d?x??，
?????xp(x)d x????为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若?则称X的数学期望不存在。
3.例 设X服从区间(a,b)上的均匀分布，求E(X)。 解 略。
二、数学期望的性质
1.基本性质
（１）若ｃ是常数，则Ｅ（ｃ）＝ｃ．
（２）对任意的常数ａ，Ｅ（ａＸ）＝ａ．
|x|p(x)dx不收敛，
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（３）对任意的两个函数g1(x)，g2(x)，有
E(g1(X)?g2(X))?E(g1(X))?E(g2(X))。
2.定理 若随机变量Ｘ的分布用分布列p(xi)或用密度函数p(x)表示，则Ｘ的某一函数
g(X)的数学期望为
?????g(xi)p(xi),在离散场合； E(g(X))??i?1
???g(x)p(x)dx,在连续场合。???? 证明 略。
2.3 随机变量的方差与标准差
本节内容包括方差与标准差的定义、方差的性质和切比雪夫不等式等。主要介绍方差的定义、性质和切比雪夫不等式的内容和应用。
一、方差与标准差的定义
1.定义 若随机变量X2的数学期望存在，则称偏差平方(X?EX)2的数学期望
E(X?EX)为随机变量X的方差或该分布的方差，记为
2???2(xi?E(X))p(xi),在离散场合；??2Var(X)?E(X?EX)??i?1
??2?(x?E(X))p(x)dx,在连续场合。????称方差的正平方根Var(X)为X的标准差或该分布的标准差，记为?(X)或?X。
2.例 下面是三角分布，均匀分布和倒三角分布的密度函数，分别计算它们的方差。
解 略。
3.方差的基本性质
（1）Var(X)?E(X)?(E(X))； (2) Var(c)?0,其中c为常数;
(3) Var(aX?b)?aVar(X),a,b是常数。 证明 略。
二、切比雪夫不等式
1. 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数??0，有
P(|X?E(X)|??)?Var(X)222?2，
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或
P(|X?E(X)|??)?1? 证明 略。
2.定理 若随机变量X的方差存在，则Var(X)?0的充要条件是X几乎处处为某个常数，即P(X?a)?1。
证明 略。
Var(X)?2。
2.4 常用离散分布
本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布，主要介绍二项分布和泊松分布。
一、二项分布
1.定义 如果随机变量X的分布列为
k P(X?k)?Cnkp(1?p)?nk,k?0,1, ..n则称这个分布为二项分布，记为X~b(n,p)。
2.二项分布举例 不合格率；色盲率；射击命中率等。
3.例 某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？
分析 略。 解 略。
4.二项分布的数学期望与方差
若X~b(n,p)，则E(X)?np,Var(X)?np(1?p)。 计算 略。
注 二项分布可看作ｎ个（０－１）分布b(1,p)的叠加。 二、泊松分布
1.定义 如果随机变量X的分布列为 P(X?k)??k??k!e,k?0,1，,. ..其中参数??0，则称这个分布为泊松分布，记为X~P(?)。
2.泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；1平方米上的砂眼数等。
3.泊松分布的数学期望与方差
若X~P(?)，则E(X)?Var(X)??。 计算 略。
4.例 一铸件上的砂眼（缺陷）数服从P（0.5），试求此铸件上至多有1个砂眼（合格品）的概率和至少有2个砂眼（不合格品）的概率。
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解 略。
5.二项分布的泊松近似
定理 在n重伯努利实验中，记事件A在一次实验中发生的概率为pn（与n有关），如果当n???时，有npn???0，则
knkn?k limCpn(1?pn)n?????kk!e??。
证明 略。
注 当n愈大，p愈小，近似程度愈好。
例 已知某疾病的发生率为0.001，某单位共有5000人。问该单位患有这种疾病的人数不超过5人的概率？
解 略。
2.5 常用连续分布
本节主要内容包括正态分布、均匀分布、指数分布、??分布和??分布。主要介绍正态分布、均匀分布和指数分布。 一、正态分布
1.定义 若随机变量X的密度函数为 p(x)??(x??)2?exp???, 22?2?????1则称X服从正态分布，称X为正态变量，记为X~N(?,?2)。其中参数???????，??0。
正态分布的分布函数为：
F(x)??(x??)2exp??2???2?2????1x??dx。 ?其中，?称为位置参数，?称为尺度参数。 ２．标准正态分布
定义 称??0,??1的正态分布N(0,1)为标准正态分布。
N(0,1)的密度函数和分布函数分别为：
?(u)??u2?exp???,???u???，
22???1?t2?exp???dt,???u???。 ???2??2?1u?(u)? 16