发布时间 : 星期三 文章浙江专版届高考数学一轮复习 单元检测四 导数及其应用单元检测含解析 doc更新完毕开始阅读9b7f27ee53ea551810a6f524ccbff121dc36c510
单元检测四 导数及其应用
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列求导运算正确的是( ) A.′＝1＋B ．(log3x)′＝
C．(3x)′＝3x·ln3 D．(x2sinx)′＝2xcosx 答案 C
解析 由求导法则可知C正确．
2．已知函数f(x)＝lnx＋x2f′(a)，且f(1)＝－1，则实数a的值为( ) A．－或1 B. C．1 D．2 答案 C
解析 令x＝1，则f(1)＝ln1＋f′(a)＝－1， 可得f′(a)＝－1.
令x＝a>0，则f′(a)＝＋2af′(a)，
即2a2－a－1＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)．
3．若函数f(x)＝xex的图象的切线的倾斜角大于，则x的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，－1) C．(－∞，－1] D．(－∞，1) 答案 B
解析 f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex， 又切线的倾斜角大于，
所以f′(x)<0，即(x＋1)ex<0，解得x<－1.
4．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 C
解析 由题意得f(x)为奇函数，排除B； 又f(1)＝<1，排除A； 当x>0时，f(x)＝，
所以f′(x)＝，函数f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，排除D. 5．若函数f(x)＝lnx＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B. C. D．(－2，＋∞) 答案 D
解析 对f(x)求导得f′(x)＝＋2ax＝， 由题意可得2ax2＋1>0在内有解， 所以a>min. 因为x∈，
所以x2∈，∈， 所以a>－2.
6.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
①f(b)>f(a)>f(c)；
②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值； ③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值； ④函数f(x)的最小值为f(d)．
A．③B．①②C．③④D．④ 答案 A
解析 由导函数的图象可知函数f(x)在区间(－∞，c)，(e，＋∞)内，f′(x)>0， 所以函数f(x)在区间(－∞，c)，(e，＋∞)内单调递增，在区间(c，e)内，f′(x)<0， 所以函数f(x)在区间(c，e)内单调递减． 所以f(c)>f(a)，所以①错；
函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，故②错，③对； 函数f(x)没有最小值，故④错． 7．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R)在x＝0处取得极小值，则f(x)的极大值是( A．4e－2B．4e2C．e－2D．e2 答案 A
解析 由题意知，f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex， f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，
∴f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex. 令f′(x)>0，解得x<－2或x>0， 令f′(x)<0，解得－2 则函数f(x)在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2,0)上单调递减， ∴函数f(x)的极大值为f(－2)＝4e－2.故选A. 8．设函数f(x)＝min(min{a，b}表示a，b中的较小者)，则函数f(x)的最大值为( ) A.ln2B．2ln2C.D. 答案 D 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由y1＝xlnx得y1′＝lnx＋1， 令y1′＝0，解得x＝， ∴y1＝xlnx在上单调递减，在上单调递增． 由y2＝，x>0得y2′＝， 令y2′＝0，x>0，解得x＝2， ∴y2＝在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，作出示意图如图， 当x＝2时，y1＝2ln2，y2＝. ∵2ln2>，∴y1＝xlnx与y2＝的交点在(1,2)内， ∴函数f(x)的最大值为. 9．已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋>0，则对于任意的a，b∈ (0，＋∞)，当a>b时，有( ) A．af(a) 解析 由f′(x)＋>0，得>0， ) 即>0，即[xf(x)]′x>0. ∵x>0，∴[xf(x)]′>0，即函数y＝xf(x)为增函数， 由a，b∈(0，＋∞)且a>b，得af(a)>bf(b)，故选B. 10．(2018·温州“十五校联合体”联考)已知函数f(x)＝2x－e2x(e为自然对数的底数)，g(x)＝mx＋1(m∈R)，若对于任意的x1∈[－1,1]，总存在x0∈[－1,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数m的取值范围为( ) A．(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞) B．[1－e2，e2－1] C．(－∞，e－2－1]∪[1－e－2，＋∞) D．[e－2－1,1－e－2] 答案 A 解析 ∵f′(x)＝2－2e2x，∴f(x)在区间[－1,0]上为增函数，在区间[0,1]上为减函数， ∵f(－1)－f(1)＝(－2－e－2)－(2－e2)＝e2－e－2－4>0， ∴f(－1)>f(1)， 又f(0)＝－1，则函数f(x)在区间[－1,1]上的值域为 A＝[2－e2，－1]． 当m>0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为 B＝[－m＋1，m＋1]． 依题意有A?B，则有得m≥e2－1. 当m＝0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为B＝{1}，不符合题意． 当m<0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为 B＝[m＋1，－m＋1]． 依题意有A?B，则有得m≤1－e2. 综上，实数m的取值范围为(－∞，1－e2]∪[e2－1，＋∞)． 第Ⅱ卷(非选择题 共110分) 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 11．已知直线y＝kx与函数f(x)＝ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切，则实数k的值为________；切点坐标为________． 答案 e (1，e) 解析 设切点坐标为(x，y)，需满足 所以解得x＝1，y＝e，k＝e， 所以k＝e，切点坐标为(1，e)． 12．设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________________；函数f(x)＝xlnx的最小值为________． 答案 x－y－1＝0 － 解析 由题意得f′(x)＝1＋lnx， 所以f′(1)＝1， 则所求切线方程为x－y－1＝0. 由f′(x)＝1＋lnx<0得0 所以函数f(x)＝xlnx在上单调递减，在上单调递增， 所以函数f(x)＝xlnx在x＝处取得最小值，最小值为f＝ln＝－. 13．(2018·宁波九校期末)函数f(x)＝x3－2x＋ex－e－x是________函数(填“奇”或“偶”)，在R上的增减性为________．(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”) 答案 奇 单调递增 解析 ∵函数f(x)＝x3－2x＋ex－e－x， ∴它的定义域为R， 且满足f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－f(x)， 故函数f(x)为奇函数． 由于函数的导数f′(x)＝3x2－2＋(ex＋e－x)≥3x2－2＋2＝3x2≥0， 故函数在R上单调递增． 14．(2018·诸暨检测)已知函数f(x)＝x3－3x，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程是________；函数f(x)在[0,2]内的值域是________． 答案 y＝－3x [－2,2] 解析 ∵f(x)＝x3－3x， ∴f′(x)＝3x2－3， 又∵f(0)＝0，f′(0)＝－3， ∴函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝－3x. 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1， 当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表. x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值2 ↘ 极小值－2 ↗ ∴在[0,1]上，f(x)是减函数，其最小值为f(1)＝－2，最大值为f(0)＝0；在[1,2]上，f(x)是增函数，其最小值为f(1)＝－2，最大值为f(2)＝2.综上，在[0,2]上，f(x)的值域为[－2,2]． 15．已知函数f(x)＝ln＋，g(x)＝ex－2，若g(m)＝f(n)成立，则n－m的最小值为________． 答案 ln2 解析 令f(n)＝g(m)＝k(k>0)， 则由ln＋＝k，解得n＝， 由em－2＝k，解得m＝lnk＋2， 则n－m＝－lnk－2， 令h(k)＝－lnk－2， 则h′(k)＝－， 由h′(k)＝0得k＝，且当k∈时，h′(k)<0，h(k)单调递减，当k∈时，h′(k)>0，h(k)单调递增， 则h(k)min＝h＝ln2， 即n－m的最小值是ln2. 16．设实数λ>0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式eλx－≥0恒成立，则λ的最小值为________． 答案 解析 当x∈(0,1]时，λ>0，不等式eλx－≥0显然成立，λ可取任意正实数； 当x∈(1，＋∞)时，eλx－≥0?λeλx≥lnx?λx·eλx≥lnx·elnx， 设函数f(x)＝x·ex(x>0)，而f′(x)＝(x＋1)·ex>0， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 那么由λx·eλx≥lnx·elnx可得λx≥lnx?λ≥. 令g(x)＝(x>1)， 而g′(x)＝， 易知函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 那么g(x)max＝g(e)＝，则有λ≥. 综上分析可知，λ的最小值为. 17．对于定义在R上的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则称x0为函数f(x)的一个“折点”．现给出下列四个函数： ①f(x)＝3|x－1|＋2；