发布时间 : 星期五 文章数学物理方程第三版答案谷超豪更新完毕开始阅读9ba083565ebfc77da26925c52cc58bd6318693b1
通过本章的教学使学生初步掌握二阶线性方程的分类方法，二阶线性方程的特征理论，三类方程的特点。 教学时数：12学时 教学内容：
第一节 二阶线性方程的分类 第二节 二阶线性方程的特征理论 第三节 三类方程的比较 考核要求：
第一节 二阶线性方程的分类 （识记与领会） 第二节 二阶线性方程的特征理论 （识记与领会） 第三节 三类方程的比较 （识记与领会） 第五章 积分论 教学要点:
通过本章的教学使学生初步了解一阶偏微分方程组的概念及特征理论，明确两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题及定解问题，掌握二级数解法。
教学时数：10学时 教学内容：
第一节 引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的关系， 第二节 两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论. 第三节 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 第四节 两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题 第五节 二级数解法 (应用)考核要求：
第一节 引言 1.一阶偏微分方程组的例子 2.一阶方程组与高阶方程的关系，(领会) 第二节 两个自变量领子的一阶线性偏微分方程的特征理论. (识记与领会) 第三节 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 (识记与领会) 第四节 两个自变量的线性双曲型方程组的其它定解问题 (识记与领会)
三.推荐教材和参考数目
1.《数学物理方程》，谷超豪等编，第二版，高等教育出版社，2002 2．《数学物理方程》，吉洪诺夫等编，黄克顾译,第二版，高等教育出版社，1961 3．《数学物理方法》，南京工学院数学教研组编，高等教育出版社， 1982 4．《高等数学》，四川大学数学系编，第四版，人民教育出版社，1979
【篇三：数学物理方程第一章部分答案】
>1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程 ???u????u?
???x????e? ?t??t??x??x?
其中?为杆的密度，e为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。现在计算这段杆
在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为： x?u(x,t);x??x?u(x??x,t) 其相对伸长等于令
[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x ?ux(x???x,t) ?x
?x?0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力t(x,t)等于
t(x,t)?e(x)ux(x,t)
其中e(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为s(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为 e(x)s(x)ux(x,t);e(x??x)s(x??x)ux(x??x,t). 于是得运动方程
?(x)s(x)??x?utt(x,t)?esux(x??x)|x??x?esux(x)|x ?
(esux) ?x
利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得 ?(x)s(x)utt?
若s(x)?常量，则得 ?u?2u?
?(x)2=(e(x)) ?x?x?t
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为 u(0,t)?0,u(l,t)?0.
(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力t(l,t)?e(x) 的边界条件为 ?u
|x?l等于零，因此相应?x ?u
|=0 ?xx?l
同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为 ?u
∣?0 ?xx?0
(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。由虎克定律有 e ?u
∣??k[u(l,t)?v(t)] ?xx?l k?u
??u)∣x?l?f(t) 其中?? e?x
其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件 (
特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)?0,得边界条件 ( ?u
??u)∣x?l?0。 ?x
同理，若x?0端固定在弹性支承上，则得边界条件 ?u
∣?k[u(0,t)?v(t)] ?xx?0?u ??u)∣x?0?f(t). 即 (?x e
?x2?ux2?2u[(1?)]??(1?)3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 e 2?xh?xh?t
其中h为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l为： l?1?
所以截面积s(x)??(1? x h x2
)。利用第1题，得 h x2?2u?x2?u
?(x)?(1?)?[e?(1?)] h?t2?xh?x
若e(x)?e为常量，则得 ?x2?ux2?2u
e[(1?)]??(1?) ?xh?xh?t2
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡
位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为 t(x)??g(l?x)
且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为
?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x) 其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角 又sin??tg??于是得运动方程 ?u ?x. ?u?2u?u
??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g ?xx?x?t
利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得 ?2u??u
?g[(l?x)]。 2 ?x?x?t
7. 验证u(x,y,t)? 1t2?x2?y2
在锥t?x?y0中都满足波动方程 222
?2u?2u?2u ?? ?t2?x2?y2
证：函数u(x,y,t)? 1t2?x2?y2
在锥t?x?y0内对变量x,y,t有 3 222
??u2222
??(t?x?y)?t 二阶连续偏导数。且?t ?2u?t2 35 ?
??(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t2 ?32