发布时间 : 星期三 文章2.5等比数列的前n项和第2课时等比数列前n项和的性质及应用学案更新完毕开始阅读9bc2116d5e0e7cd184254b35eefdc8d377ee141c
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用8
学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝＋
a1
－q1－qn，它可以变形为Sn＝－·q1－qa1
n，设A＝，上式可写成Sn＝－Aq＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn1－q1－qa1a1
n是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比
q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3么？
[提示] 由题{an}是等比数列， ∴3的系数与常数项互为相反数， 11n而3的系数为，∴k＝－.
332．等比数列前n项和的性质
性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aq－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N)，则②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？ [提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比
*
n－1
＋k，则实数k的取值是什
nnS偶
＝q. S奇
q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3
n－1
－1，则a＝1.( )
(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．( ) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
- 1 -
提示：(1)
S偶12011
＝q＝＝；(2)由等比数列前n项和的特点知a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S奇24023
S3，S9－S6成等比数列知(4)错误．
2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝________. 2 [q＝
3
S6－S327－3
＝＝8，所以q＝2.] S33
21
3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
33
【导学号：91432227】
(－2)
n－1
21
[当n＝1时，S1＝a1＋，所以a1＝1.
33
1?21?2
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－?an－1＋?
3?33?32an＝(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2， 3an－1所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以an＝1×(－2)
n－1
，即an＝(－2)
n－1
.]
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 35 [设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35，即a5＋b5＝35.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
等比数列前n项和公式的函数特征应用
已知数列{an}的前n项和Sn＝a－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列
{an}( )
【导学号：91432228】
A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 B [当n≥2时，
nan＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·a∴
n－1
，n∈N.
*
an＋1
＝a， an- 2 -
∴数列{an}是等比数列．] [规律方法] （1）??S1，n＝1，已知Sn通过an＝??Sn－Sn－1，n≥2?n 求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. （2）若数列{an}的前n项和Sn＝Aq－1，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. [跟踪训练] 1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝31
－ [显然q≠1， 3此时应有Sn＝A(q－1)， 1n又Sn＝·3＋t，
31
∴t＝－.]
3
等比数列前n项和性质的应用
[探究问题]
1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？
提示：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{an}中有am＋n＝amq， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，
nnn－1
＋t，则t＝________.
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.
同理S3m－S2m＝Sm·q，…，
在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．
2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么
2mS偶
等于何值？ S奇
提示：由等比数列的通项公式可知
S偶S奇·q＝＝q. S奇S奇
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( ) A．28 B．32 C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________
【导学号：91432229】
思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．
- 3 -
(2)利用
S偶
＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解． S奇
(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列，
∴(S4－7)＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q＋a2q ＝(a1＋a2)(1＋q)＝S2(1＋q)>S2，∴S4＝28. (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
2
2
2
2
2
S1
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.
S2
4
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.
3即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]
母题探究：1.(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，
S3n＝14”求S4n的值．
[解] 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2,14－x，y－14成等比数列，所以
?????
x－
－x2
＝
2
－x，
＝x－y－，
所以?
?x＝6，???y＝30
或?
?x＝－4，?
??y＝－40
(舍去)，所以S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它113
的偶数项之和是奇数项之和的，又它的首项为，且中间两项的和为”求此等比数列的项数．
22128
[解] 设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，33n－1n又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝，即a1q＋a1q＝，
12812811
又a1＝，q＝，
22
n－1
nn－1
S偶1
＝q.则q＝， S奇2
1?1?
∴·??2?2?1?1?31?1?＋·??＝?·??2?2?1282?2??1?3
·?1＋?＝?n＝6. ?2?128
∴项数为2n＝12. 则此等比数列的项数为12. [规律方法] - 4 -