发布时间 : 星期六 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-8立体几何中的向量方法(二)__求空间角和距离理更新完毕开始阅读9bf679aef4335a8102d276a20029bd64793e62f0
2019年
(2016·天津)如图，正方形ABCD的中心为O，
四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2. (1)求证：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O—EF—C的正弦值；
(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值． (1)证明 依题意，OF⊥平面ABCD，
如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得
O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)， D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0)．
依题意，＝(2,0,0)，＝(1，－1,2)． 设n1＝(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量， 则
??2x1＝0，
即?
?x1－y1＋2z1＝0，?
不妨取z1＝1，可得n1＝(0,2,1)， 又＝(0,1，－2)，可得·n1＝0，
又因为直线EG?平面ADF，所以EG∥平面ADF.
(2)解 易证＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，＝(1,1,0)，＝(－1,1,2)．
设n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，
2019年
→??n2·EF＝0，
则?
→??n2·CF＝0，
即?
?x2＋y2＝0，?
??－x2＋y2＋2z2＝0，
不妨取 x2＝1，可得n2＝(1，－1,1)． 因此有cos〈，n2〉＝＝－， 于是sin〈，n2〉＝.
所以二面角O—EF—C的正弦值为. (3)解 由AH＝HF，得AH＝AF. 因为＝(1，－1,2)， 所以＝＝，
进而有H，从而＝. 因此cos〈，n2〉＝＝－.
所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为. 题型四 求空间距离(供选用)
例4 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．
解 如图，取CD的中点O，连接OB，OM，因为△BCD与△MCD均为正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 所以OB＝OM＝，
则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)， 所以＝(1，，0)，＝(0，，)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
?x＋3y＝0，
由得即?
?3y＋3z＝0，
2019年
取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)． 又＝(0,0,2)，
所以所求距离为d＝＝.
思维升华 求点面距一般有以下三种方法：
(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； (2)等体积法；
(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
(2016·四川成都外国语学校月考)如图所示，
在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点． (1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值； (2)求B点到平面PCD的距离；
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点， ∴PO⊥AD.
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD.
在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2. 在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，AB⊥AD，
2019年
∴OC⊥AD.
以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， ∴＝(1，－1，－1)． 易证OA⊥平面POC，
∴＝(0，－1,0)为平面POC的法向量， cos〈，〉＝＝，
∴PB与平面POC所成角的余弦值为. (2)∵＝(1，－1，－1)，
设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，
→??u·CP＝－x＋z＝0，则?
→??u·PD＝y－z＝0.
取z＝1，得u＝(1,1,1)． 则B点到平面PCD的距离d＝＝. (3)假设存在，且设＝λ(0≤λ≤1)． ∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)， ∴＝(0，λ，1－λ)， ∴Q(0，λ，1－λ)．
设平面CAQ的法向量为m＝(x，y，z)，
→??m·AC＝x＋y＝0，
则?
→??m·AQ＝λ＋1y＋1－λz＝0.
取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)． 平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)， ∵二面角Q－AC－D的余弦值为， ∴|cos〈m，n〉|＝＝.
整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0. 解得λ＝或λ＝3(舍去)，