发布时间 : 星期五 文章2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测:3.1.1数系的扩充和复数的概念更新完毕开始阅读9c1545286394dd88d0d233d4b14e852459fb39db
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
填一填
1.复数的有关概念 (1)复数
①定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.
②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
(2)复数集
①定义 :全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母C表示. 2.复数的分类
?实数?b=0?
?纯虚数a=0(1)复数z=a+bi(a,b∈R)??
虚数?b≠0??
???非纯虚数a≠0
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数,则a+bi=c+di?a=c且b=d,a+bi=0?a=b=0.
判一判 1.若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.(×) 2.复数z1=3i,z2=2i,则z1>z2.(×) 3.复数z=bi是纯虚数.(×)
4.实数集与复数集的交集是实数集.(√) 5.若a为实数,则z=a一定不是虚数.(√)
6.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.(√) 7.复数z=a+bi的实部为a,虚部为bi.(×) 8.任何数的平方都不小于0.(×)
想一想 1.虚数单位i的基本特征是什么?
(1)i2=-1;
(2)i可以与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍然成立.
虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾,并将实数集扩充到了复数集. 2.复数的一般形式是什么?复数相等的充要条件是什么? a+bi(a,b∈R);实部和虚部分别相等. 3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如何?
设z=a+bi(a,b∈R),当b=0时z为实数;当b≠0时,z为虚数;当a=0且b≠0时,z为纯虚数.
感悟体会
练一练 1.(1+3)i的实部与虚部分别是( ) A.1,3 B.1+3,0 C.0,1+3 D.0,(1+3)i
解析:由复数的定义知,(1+3)i的实部为0,虚部为1+3,故选C. 答案:C
2.设复数z=a+bi(a,b∈R),则z为纯虚数的必要不充分条件是( ) A.a=0 B.a=0且b≠0
C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0
解析:由纯虚数的概念知:a=0且b≠0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,那么必要不充分条件可以为a=0,故选A.
答案:A
3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为( )
A.4 B.-1
C.-1或4 D.-1或6
2??m-3m-1=3,
解析:∵M∩N={3},∴3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,∴?2
?m-5m-6=0,?
解得m=-1,故选B.
答案:B
4.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________________.
π22
θ+?解析:依题意有m≠sin θ+cos θ.因为sin θ+cos θ=2?sin θ+cos θ?=2sin ??4?2?2?
∈[-2,2],所以m∈(-∞,-2)∪(2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
知识点一 1.下列命题中,正确的是( ) A.1-ai(a∈R)是一个复数
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小
复数的概念
D.若a>b,则a+i>b+i
解析:由复数的定义知A正确;当a∈R,b=0时,a+bi(b∈R)表示实数,B选项错误;如果两个复数同时是实数时,可比较大小,C选项错误;a+i与b+i不能比较大小,D选项错误,故选A.
答案:A
2.以-5+2i的虚部为实部,以5i+2i2的实部为虚部的新复数是( ) A.2-2i B.-5+5i C.2+i D.5+5i
解析:依题意,新复数的实部为2,虚部为-2,所以新复数是2-2i,故选A. 答案:A
知识点二 复数的分类 3.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是( ) A.1 B.-1 C.±1 D.以上都不对
2??x-1=0,
解析:∵(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,∴?2解得x=1,故选A.
?x+3x+2≠0,?
答案:A
m2+m-6
4.已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为
m
(1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数.
2??m-2m=0
解析:(1)当?,即m=2时,复数z是实数.
?m≠0?
(2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
m2+m-6??=0
m(3)当?,即m=-3时,复数z是纯虚数. ??m2-2m≠0
知识点三 复数相等 5.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a=________. 2??4-3a=a,
解析:由4-3a-a2i=a2+4ai,a∈R,得?2解得a=-4.
?-a=4a,?
答案:-4
6.已知(2x-y+1)+(y-2)i=0,求实数x,y的值. 解析:因为(2x-y+1)+(y-2)i=0,
1???x=2,?2x-y+1=0
所以?,解得?
?y-2=0???y=2,
1
所以实数x,y的值分别为,2.
2综合知识 复数的综合应用 7.若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为________. ???m-3≥0,?m≥3,
解析:依题意知?2解得?即m=3.
??m-9=0.m=-3或3,??
答案:3 8.已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0(i为虚数单位)有实数根,求锐角θ和方程的实数根.
解析:设x0是方程x2-(tan θ+i)x-(2+i)=0的实数根.
2则x20-(tan θ+i)x0-(2+i)=0,即x0-tan θx0-2-(x0+1)i=0,
2???x0-tan θx0-2=0?x0=-1,所以?,解得?
?x0+1=0?tan θ=1,??
π
又θ为锐角,所以θ=.
4
基础达标
一、选择题
1.下列命题中,正确命题的个数是( )
①一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零; ②-1没有平方根;
③若a∈R,则(a+1)i是纯虚数. A.0 B.1 C.2 D.3
解析:一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部为零且虚部不为零,∴①错误;-1的平方根为±i,∴②错误;当a=-1时,(a+1)i=0是实数,∴③错误,故选A.
答案:A
2
2.在2+7,i,0,8+5i,(1-3)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( )
7
A.0 B.1 C.2 D.3
2
解析:纯虚数有i,(1-3)i两个,故选C.
7
答案:C
3.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1
解析:复数z1=1+3i的实部为1,复数z2=-1-ai的虚部为-a,∴1=-a,解得a=-1,故选C.
答案:C
4.已知复数z=m2+m-2+(m2+4m-5)i是纯虚数,其中m为实数,则m=( ) A.-2 B.1
C.-2或1 D.-5
2??m+m-2=0,
解析:由题意得?2解得m=-2.故选A.
?m+4m-5≠0,?
答案:A
5.集合{x∈C|x(x2-2x-3)(x2+1)=0}可化简为( ) A.{0,-1,3} B.{0,-1,3,±i} C.{-1,3,±i} D.{-1,3,i}
解析:在复数集中,由x(x2-2x-3)(x2+1)=0,得x=0或x2-2x-3=0或x2+1=0,解x2-2x-3=0得x=-1或x=3,解x2+1=0,得x=±i,∴集合{x∈C|x(x2-2x-3)(x2+1)=0}={0,-1,3,±i},故选B.
答案:B
6.设a,b∈∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的( )