发布时间 : 星期三 文章高中数学人教A版选修2-1_2-2__2-3综合测试(含答案)高二数学理科更新完毕开始阅读9cd7375cb9f3f90f77c61b65
高二下学期数学期末考试试卷(理)
参考答案
一.选择题： 每小题5分共60分 ADBDA,AACCA,DD 二.填空题：13. ?6 14. 7 15.
1 16. 675 24Cn7三：17解：（Ⅰ）解由题意知2? ，整理得42?(n?2)(n?3)，解得n?9? 2分
Cn2∴ 通项公式为Tr?1?C?2112r99?rx27?r6 4分 令
27?r11?，解得r?6 . 626∴展开式中含x项的系数为C9?29?6?672 . ?????6分 r9?rr?110?r??C9?2?C9?2（Ⅱ）设第r?1项的系数最大，则有?r9?r ?????8分 r?18?r??C9?2?C9?2?10r???3??，?r?N且0?r?9?r?3. ?????10分 ?r?7?3?3∴展开式中系数最大的项为T4?C9?26x5?5376x5. ?????12分
18（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A， 1分
654A6?2A5?A47则P(A)? ????3分 ?610A67所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为. ????4分
10（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4 ???????5分 25124A2A51C4A2A44， P(X?0)??P(X?1)??66315A6A622233223C4A2A2A31C4A2A2A32, P(X?2)??P(X?3)??66515A6A624A2A41， (每个式子1分)??????????10分P(X?4)??615 A6
随机变量X的分布列为：
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3 0 1 2 4 14121 315515 15 141214?2??3??4??， 因为 EX?0??1?3155151534所以随机变量X的数学期望为. ????????12分
3219.解：（Ⅰ）第6个等式6?7?8???16?11 ????2分
X P （Ⅱ）猜测第n个等式为n?(n?1)?(n?2)??(3n?2)?(2n?1)????4分 证明：（1）当n?1时显然成立； （2）假设n?k(k?1,k?N?)时也成立，
即有k?(k?1)?(k?2)??(3k?2)?(2k?1)2 ????6分 那么当n?k?1时左边?(k?1)?(k?2)??(3k?2)?(3k?1)?(3k)?(3k?1)
2?k?(k?1)?(k?2)???(3k?2)?(2k?1)?3k?3k?1?(2k?1)2?(2k?1)?(3k)?(3k?1)?4k2?4k?1?8k?(2k?1)2?[2(k?1)?1]2而右边?[2(k?1)?1]
这就是说n?k?1时等式也成立. ????10分 根据（1）（2）知，等式对任何n?N?都成立. ????12分
20解：（Ⅰ）设点P(x,y)，则OP?OA?(x,y?22)， OP?OA?(x,y?22)．由题设得x?(y?22)?22
2x2?(y?22)2?43．???（3分）
即点P到两定点（0，22）、（0，－22）的距离之和为定值43，故轨迹C是以
x2y2??1．??（6分） （0，?22）为焦点，长轴长为43的椭圆，其方程为
412（Ⅱ）设点M (x1,y1)、N(x2,y2)，线段MN的中点为M0(x0,y0)，
由BM?BN得BM0垂直平分MN． 联立???y?3x?m,22 消去y得6x?23mx?m?12?0．
22??3x?y?12.由??(23m)2?24(m2?12)?0得?26?m?26．???（10分） ∴x0?x1?x2mmmmm)?m?．即M0(?,)． ，y0?3(???222323223 共 8 页 高二理数学第 6 页
由BM0⊥MN得kBM0?kMN??m2m23（14分） ?3??1．故m?23为所求．
?2（Ⅲ）若存在直线l与椭圆C相交于不同的两点M (x1,y1)、N(x2,y2)，且满足
BM?BN，令线段MN的中点为M0(x0,y0)，则BM0垂直平分MN．
22??3x1?y1?12,联立?两式相减得3(x1?x2)(x1?x2)??(y1?y2)(y1?y2)．
22??3x2?y2?12.3xy1?y23(x?x)??12??0?k．
x1?x2y1?y2y0y0331又由BM0⊥MN得kBM0???．∴x0??1，y0?．即M0(?1,)．
kkx0?2k∴kMN?22又点M0在椭圆C的内部，故3x0?y0?12．即3?(?1)2?()2?12．
3k解得k?1.又点M0(?1,∴m?k?33)在直线l上，∴??k?m．
kk33． ?k??23（当且仅当k?3时取等号）
kk故存在直线l满足题设条件，此时m的取值范围为(??,?23]?[23，． ??）21（本小题满分12分）解:（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系A?xyz．则依题意,可得以下各点的坐标分别为
z A1 y D A B x C D1 BE F C1
A(0,0,0),C(4,2，，0)C1(4,2,2),E(3，2,2),104F(，,2)． ??????3分
332,2)，EF?(,?，0),EC?(1,0,?2), ∴ AC1?(4，1233∴AC1?EF，AC1?EC．又EF,EC?平面EFC ∴ AC1?平面EFC． ??????6分
13232,2)?(,?，0)?0. AC1?EC??(4，∴ AC1?EF??(4，2,2)?(1,0,?2)?0
（Ⅱ）设向量n?(x,y,z)是平面AFC的法向量，则 n?AC,n?AF，
而AC?(4,2,0),AF?(104104,,2)∴ 4x?2y?0,x?y?2z?0， 3333 共 8 页 高二理数学第 7 页
令x?1得n?(1,?2,?)． ??????9分 又∵AC1是平面EFC的法向量，
∴ cos?n,AC1??13n?AC1|n|?|AC1|4?4??1?4?231?16?4?49??69．? 11分 138所以锐二面角A?FC?E平面角的余弦值为22.（本小题满分14分）
69．??????12分 138 解：(Ⅰ)由f(x)?ex(x2?ax?a?1)可得 f?(x)?ex[x2?(a?2)x?1].?2分 当a?1时,f(1)?2e,f?(1)?5e
所以 曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?2e?5e(x?1) 即5ex?y?3e?0 ???????????4分 （Ⅱ） 由(Ⅰ)知f?(x)?ex[x2?(a?2)x?1]，若f(x)是单调递增函数，则f?(x)?0恒成立， ????????5分
即x?(a?2)x?1?0恒成立，∴??(a?2)?4?0，
22?4?a?0，所以a的取值范围为[?4,0]. ?????????7分
（Ⅲ）令g(x)?f(x)?e?e(x?ax?a)，则关于x的方程g(x)?k在[0,??)上有两个不相等的实数根.
令g?(x)?e(x?(2?a)x)?0，解得x??(a?2)或x?0.?????9分 当?(a?2)?0，即a??2时，在区间[0,??)上，g?(x)?0，所以g(x)是[0,??)上的增函数.
所以 方程g(x)?k在[0,??)上不可能有两个不相等的实数根.????10分
当?(a?2)?0，即a??2时，g?(x),g(x)随x的变化情况如下表
0 (0,?(a?2)) ?(a?2) (?(a?2),??) x + 0 0 g?(x) ? ↗ g(x) ?a a?4↘ a?2x2xx2ea?4. ????12分 ea?2因为 函数g(x)是(0,?(a?2))上的减函数，是(?(a?2),??)上的增函数， 且当x???时，g(x)???
xk的取值范所以要使方程g(x)?k即f(x)?e?k在[0,??)上有两个不相等的实数根，
a?4围必须是(a?2,?a].????14分
e 由上表可知函数g(x)在[0,??)上的最小值为g(?(a?2))? 共 8 页 高二理数学第 8 页