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处理平面向量等式问题的若干策略
孙福明（常州市教育教研室，江苏 常州 213001）
向量是数形结合的典范。一方面，向量的两个基本要素是模及方向，模就是向量的长度，是非负实数，向量的方向通常用角度精确表示，这些是向量兼俱代数运算特点的基础。另一方面，向量的有向线段表示法，是向量几何运算的基础，如平行四边形法则，三角形法则，向量共线等。正确处理向量问题，是从数与形两个纬度的分析与综合。向量等式，是向量问题中常见的条件形式。如何处理向量等式，是学生解决向量问题的难点之一，对向量等式的正确解读，关系到学生能否找到解题思路及解题思路优劣与否。本文就处理向量等式问题的若干策略做一介绍。
1．向量等式图形化
在读题过程中，形成向量及向量运算符号与几何图形之间的常规联想，如将向量符号
?????????AB,a转化为向量有向线段表示，把符号运算如a?b,a?b转化为向量加法的平行四边形对
角线，a?b?0转化为直线垂直等，在此基础上利用向量图形运算的特征，对条件等式进行化简，整合，常常使向量条件“数落形出”，简捷明了。
例1．设G为平面ABC内一点，若GA+GB+GC=0，求证：G为△ABC的重心。 分析：由GB?GC联想到平行四边形加法法则，通过平行四边形作图法则对GB?GC化简。 证明：如图，以GB,GC为邻边作平行四边形GBMC,设GM交BC于点D,则D为BC中点。
?????? GB+GC=GM＝2GD，
??????????????????∴ GA+2GD=0，
即GA= -2GD，AG= 2GD，
∴ G在中线AD上，且G为靠近D点的一个三等分点，
∴ G为△ABC的重心。
????????????????????GA?GB,GA?GC点评：本题也可以对施以同样的化简法则。由a?b或a?b联想到向
????量加法的平行四边形法则，是向量符号语言向图形语言的基本模式之一，也体现了对向量式
整体实施变换的思想。
?????????????例2．已知点O是四边形ABCD内一点，满足OA?OB?OC?0???????????????BAD?DC?，若AAO??，
求实数?的值。
分析：由例1知，满足条件OA?OB?OC?0的点O为△ABC的重心。在化简第二个等式时，对等式左边利用平行四边形加法法则消元化简。
????????????????????????????????解：∵AD?DC?AC, ∴AB?AD?DC=AB?AC.
????????????? 1
以AB,AC为邻边作平行四边形ABMC,设对角线交点为E,则E为AM中
?????????????????点,AB?AC?AM?2AE,
∴第,
?二个等式可化为
????????2AE??AO??????????AE?AO2??. ?????①
∵OA+OB+OC=0，∴O为△ABC的重心， 由重心性质知，AE=∴由①②得，λ＝3.
点评：在这两个例题中，都涉及到这样一个结论：在△ABC中，若D为BC中点，则AD=
1232?AO ???②
(AB+AC)，该结论又称为中点公式，是联系向量表达式与图形语言重要模式之一。
????????ABAC1则?ABC??????????，2ABAC????????????????ABAC????例3．若非零向量AB与AC满足(?????????)?BC?0且
ABAC形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
????AB 分析：向量????是单位向量，利用单位向量的模为1的特征解题。
AB????????ABAC解：∵向量????，????是单位向量，
ACAB????????????????ABACABAC ∴?????????是以向量????，????为邻边的菱形的对角线，
ABACACAB????????ABAC 由菱形性质知，向量?????????所在直线平分∠A.
ABAC????????ABAC????又∵(?????????)?BC?0，
ABAC∴∠A的平分线与BC垂直，∴ AB=BC.
????????1ABAC10
又由??????????知，cosA=,即A=60，∴?ABC为等边三角形。
22ABAC????AB点评：能否识别单位向量符号????是解决本题的难点，将向量运算图形化后能否利用
AB菱形对角线性质是解决本题的关键。将向量等式图形化后常常要利用有关平面图形的性质，这是向量等式图形化策略解题特点。
2.向量等式实数化
2
由于向量的数量积运算能够把向量转化为实数问题，进而利用实数的运算性质化简，所以对向量等式主动施加数量积运算是处理棘手向量等式问题的重要思路。特别是在判断图形形状一类题型中，数量积运算使用优势特别明显，因为数量积运算中涉及到的长度与角度正好是三角形中的基本元素。 例
???????4．已知a?b?c?0，a?3,b?5,c?7??????????，求 a?b?b?c?c?a的值。
分析：从对向量等式a?b?c?0实数化着手化简。 解：法一 ∵a?b?c?0，∴a?b??c.
∴a?b??c,a?b??c， ∴a?2a?b?b?c, ∴a?b???1?2?2?215(c?a?b)?22?2???2?2?????2????????2.
同理，b?c????65??33, ,c?a??22??????83∴a?b?b?c?c?a??2.
???2法二 ∵a?b?c?0, ∴?a?b?c??0， 展开得，a?b?c?2(a?b?b?c?c?a)?0，
∴a?b?b?c?c?a＝???????1?2?2?2a?b?c2?????2?2?2????????＝ —
12（9＋25＋49）=?832.
点评:本题通过对向量等式两边同时平方，其实是利用向量的数量积运算把向量等式转化为实数等式，这是数量积运算的重要特征。它类似与实数中对等式两边同时平方运算。第二种方法充分利用向量运算的特点，巧妙地借助整体计算的思想，降低了运算量。对向量等式实数化通常有两种模式，即原式平方和移项平方。
本题亦可利用条件量积的定义化简
?1?2?2?2a?b?c2????a?b?c?0构造三角形?ABC???????????????，AB＝a,BC?b,CA?c,然后利用数
????????????a?b?b?c?c?a，再结合余弦定理，同样可以得到等式a?b?b?c?c?a＝
??。这也表明了向量等式的多种方法处理的灵活性。
???????????????????????????????中，AB＝a,BC?b,CD?c,DA?d,且a?b?b?c?c?d?d?a，试问四
例5．四边形ABCD边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量之间关系。
解：法一 四边形ABCD是矩形，这是因为：
????????????????2一方面：a?b?c?d?0,a?b??(c?d),(a?b)?(c?d)2,
3
?2?2?2??2展开得，a?b?c?d.????????①
?2??2?2?2同理得，a?d?c?b.????????②
由①②得，a?c,b?d，即四边形ABCD两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形
???????另一方面，由a?b?b?c,得b?(a?c)?0，而由平行四边形
?????ABCD
??可得a??c，
∴b?(2a)?0,b?a?0, ∴a?b，即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形. 法二
??????????∵ a?b?b?c,b?(a?c)?0，∴b?(a?c).
??????同理d?(a?c), ∴b∥d,
??同理a∥c，
???????∴四边形ABCD是平行四边形。
?????此时a∥(a?c),b?a，平行四边形
ABCD是矩形.
点评：第一种方法的关键是寻求题中隐藏的向量等式，即AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a?b?c?d?0，然后将此向量等式通过数量积实数化，找到四边形边长之间的等量关系。平面上封闭图形均隐含了类似的向量等式。法二则是在对向量等式符号化简的基础上，直接将符号运算与几何意义联系起来，若
????a?b?0,则a?b。通过符号运算的几何意义得出结论，充分表明了向量运算的几何特征。
??????3.向量等式符号式化简
当对向量等式图形化或数量积比较困难时，亦可以仿照实数等式处理的一般原则，即化简。建立在图形法则上的向量运算有着不同于实数运算的本质特征，如
????????????????????????????????????AB?BC?AC,AP?AB?BP,OA?OB?BA等，正确利用这些加减法则，对向量等式进行有
目的的化简，可以使“隐藏”条件明朗。
????????????????????????例6．已知O是△ABC内一点，且满足OA?OB?OB?OC?OC?OA,则O点一定是△ABC的
（ ）
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