发布时间 : 星期二 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系学案理更新完毕开始阅读9d03ff23f9c75fbfc77da26925c52cc58bd690bc
2019年
③若a，b不同在平面α内，则a与b异面； ④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．
答案：④
解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．[考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为
某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点．
主要有以下几个命题角度：
角度一
两直线位置关系的判定
[典题2] (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c； ③若a∥b，b⊥c，则a⊥c. 其中正确的个数为( )
B．1 D．3
A．0 C．2 [答案] B
[解析] 解法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，
还可能异面，所以①②错误，③显然成立．
解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．
(2) [2017·浙江余姚模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，
CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
2019年
[答案] D
[解析] 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；
∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴CC1⊥BD，
∴MN与CC1垂直，故A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，
∴MN与AC垂直，故B正确； ∵A1B1与BD异面，MN∥BD，
∴MN与A1B1不可能平行，故D错误．故选D.
[点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平
行、线面垂直、面面平行、面面垂直．
角度二
异面直线的判定
[典题3] (1)在下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
① ② ③ ④
[答案] ②④
[解析] 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G， M，N共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正
方体中互为异面的对数为________对．
[答案] 3
[解析] 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH
2019年
在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，
CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
[点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定
假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
考点3 异面直线所成角
[典题4] 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1
中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
B.5 D.5 42
A. C.
[答案] D
[解析] 连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．
连接A1C1，由AB＝1知， AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝， 故cos∠A1BC1＝＝.
则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
[题点发散1] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅
有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．
解：因平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1.
此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1， 由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1.
则△A1BC1为等边三边形，
∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A1BC1＝，
故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2019年
[题点发散2] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与
AD1所成角的余弦值为”，试求的值．
解：设＝t，则AA1＝tAB.
∵AB＝1，∴AA1＝t. ∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos∠A1BC1＝＝，
∴t＝3，即＝3.
[题点发散3] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线 l，使l与棱AB，AD，
AA1所成角都相等．若存在，存在几条？若不存在，请说明理由．
解：由条件知，此时正四棱柱为正方体．
如图，连接对角线AC1，
显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线． 如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，
所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．
同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，
DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条．
[点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要
求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别
是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小． 解：解法一：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，
则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，