发布时间 : 星期五 文章2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系学案理更新完毕开始阅读9d03ff23f9c75fbfc77da26925c52cc58bd690bc
2019年
所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.
若∠MPN＝60°， 因为PM∥AB，
所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
则△PMN是等边三角形，
所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
若∠MPN＝120°，
则易知△PMN是等腰三角形．
所以∠PMN＝30°，
即AB与MN所成的角为30°.
综上知，直线AB和MN所成的角为60°或30°.
解法二：由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，
如图，
由M，N分别是BC，AD的中点，所以MN∥AA1，
即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角．
连接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD， 即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角．
所以∠AOA1＝60°或120°.
由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°.
所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.
[方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个
平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．
2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个
2019年
平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
3．判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线
是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线
异面．
4．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶
点位置无关．
[易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线，不要理解成
“不在同一个平面内”．
2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．
3．两条异面直线所成角的范围是.
4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内
角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平 面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
B. D.3 1
A. C. 答案：A
解析：因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，
所以m，n所成角的正弦值为，故选A.
2．[2015·安徽卷]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列
命题正确的是( )
2019年
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案：D
解析：可以结合图形逐项判断． A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故选D.3．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的
是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案：B
解析：解法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n?α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥a或n?α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也
可能n?α，D错．
解法二：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C错．D项中，若m为A′B′，
n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．
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4. [2015·浙江卷]如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝ 2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
答案：8
解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵ M为AD的中点，
∴ MK∥AN，
∴ ∠KMC即为异面直线AN，CM所成的角．
∵ AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，
∴ MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝ ＝. 在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝＝.
课外拓展阅读
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构造平面研究直线相交问题
[典例1] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则
在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
[思路分析]
[解析] 解法一：如图所示，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这
三条直线都相交的直线有无数条．
解法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平
面α不平行，所以它们相交，
设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线． 由点P的任意性知，有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．