2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-3空间点直线平面之间的位置关系学案理 联系客服

2019年

所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角.

则∠MPN=60°或∠MPN=120°.

若∠MPN=60°, 因为PM∥AB,

所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角.

又因为AB=CD,所以PM=PN,

则△PMN是等边三角形,

所以∠PMN=60°,

即AB与MN所成的角为60°.

若∠MPN=120°,

则易知△PMN是等腰三角形.

所以∠PMN=30°,

即AB与MN所成的角为30°.

综上知,直线AB和MN所成的角为60°或30°.

解法二:由AB=CD,可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1-C1CD1D中进行考虑,

如图,

由M,N分别是BC,AD的中点,所以MN∥AA1,

即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角.

连接A1B1交AB于O,所以A1B1∥CD, 即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角.

所以∠AOA1=60°或120°.

由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1=60°或30°.

所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.

[方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个

平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).

2.要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个

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平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线.

3.判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线

是异面直线.

(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线

异面.

4.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶

点位置无关.

[易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线,不要理解成

“不在同一个平面内”.

2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.

3.两条异面直线所成角的范围是.

4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内

角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.

真题演练集训

1.[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平 面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )

B. D.3 1

A. C. 答案:A

解析:因为过点A的平面α与平面CB1D1平行,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以m∥B1D1∥BD,又A1B∥平面CB1D1,所以n∥A1B,则BD与A1B所成的角为所求角,

所以m,n所成角的正弦值为,故选A.

2.[2015·安徽卷]已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列

命题正确的是( )

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A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行

B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行

C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线

D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面

答案:D

解析:可以结合图形逐项判断. A项,α,β可能相交,故错误;

B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;

C项,若m?α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;

D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故选D.3.[2014·辽宁卷]已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的

是( )

A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

答案:B

解析:解法一:若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,A错;若m⊥α,n?α,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥a或n?α,C错;若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也

可能n?α,D错.

解法二:如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.A项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,n∥α,但m与n是相交直线,故A错.B项中,m⊥α,n?α,∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.C项中,若m为AA′,n为AB,满足m⊥α,m⊥n,但n?α,故C错.D项中,若m为A′B′,

n为B′C′,满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.

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4. [2015·浙江卷]如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC= 2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.

答案:8

解析:如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.

∵ M为AD的中点,

∴ MK∥AN,

∴ ∠KMC即为异面直线AN,CM所成的角.

∵ AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点,

由勾股定理易求得AN=DN=CM=2,

∴ MK=.

在Rt△CKN中,CK= =. 在△CKM中,由余弦定理,得

cos∠KMC==.

课外拓展阅读

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构造平面研究直线相交问题

[典例1] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则

在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.

[思路分析]

[解析] 解法一:如图所示,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这

三条直线都相交的直线有无数条.

解法二:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因为CD与平

面α不平行,所以它们相交,

设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线. 由点P的任意性知,有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.