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中考初中数学第二轮(专题)复习 二次函数
将(0,b)代入,得c?b.顶点坐标为(b?102,?b?16b?10042),由题意得
?2?b?102?b??b?16b?10042,解得b1??10,b2??6.
(2)y??2x?2
8.有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为?2,0,1时, 相应的输出值分别为5,?3,?4. (1)求此二次函数的解析式;
(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.
解:(1)设所求二次函数的解析式为y?ax2?bx?c,
?a(?2)2?b(?2)?c?5?c??3?a?1????则?a?02?b?0?c??3,即?2a?b?4 ,解得?b??2 ?a?b?c??4?c??3?a?b??1????y 故所求的解析式为:y?x2?2x?3. (2)函数图象如图所示.
由图象可得,当输出值y为正数时, 输入值x的取值范围是x??1或x?3. 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
第9题
O x 驼的体四天中前两昼答: 温是上
⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解析式. 解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时
⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶y??116x?2x?24?10?x?22?
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10.已知抛物线y?ax?(243?3a)x?4与x轴交于A、
B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得
△ABC为直角三角形.若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:依题意,得点C的坐标为(0,4).
设点A、B的坐标分别为(x1,0),(x2,0), 由ax?(243?3a)x?4?0,解得 x1??3,x2??43a243a.
∴ 点A、B的坐标分别为(-3,0),(? ∴ AB?|?43a?3|,AC?2,0). ?5,
AO?OC43aBC?2BO42?OC22?169a162|?|?422.
169a2 ∴ AB AC2?|?3a?3|?2?2?3??16.
43a?9??8a?9,
?25,BC22?9a22 〈ⅰ〉当AB?AC?BC时,∠ACB=90°. 由AB?AC?BC, 得
169a2222?8a?9?25?(14169a2?16).
解得 a?? ∴ 当a??2.
16314时,点B的坐标为(
22,0),AB2?5269,AC2?25,BC2?4009.
于是AB?AC?BC. ∴ 当a?? 〈ⅱ〉当AC 由AC2214时,△ABC为直角三角形.
22?AB?BC2时,∠ABC=90°.
169a2?AB?BC2,得25?(?8a?9)?(169a2?16).
解得 a? 当a?4949.
43a?43?2时,?49??3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意.
〈ⅲ〉当BC2?AC?AB时,∠BAC=90°.
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2中考初中数学第二轮(专题)复习 二次函数
由BC2?AC2?AB,得
2169a2?16?25?(169a2?8a?9).
解得 a?49.不合题意.
14 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当a??时,△ABC为直角三角形.
11.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=5,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 △MNC的面积等于27,试求m的值.
解: (1)A(x1,0),B(x2,0) . 则x1 ,x2是方程 x2-mx+m-2=0的两根. ∵x1 + x2 =m , x1·x2 =m-2 <0 即m<2 ;
2又AB=∣x1 — x2∣=(x1+x2)?4x1x2?5 , ∴m2-4m+3=0 .
解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . (2)M(a,b),则N(-a,-b) . ∵M、N是抛物线上的两点,
∴????a?ma?m?2?b,?①???a?ma?m?2??b.?②22y C M
x O N ①+②得:-2a2-2m+4=0 . ∴a2=-m+2 . ∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N. ∴a??2?m .
这时M、N到y轴的距离均为2?m, 又点C坐标为(0,2-m),而S△M N C = 27 , ∴23
123(2-m)32?m=27 . ∴解得m=-7 .
12.已知:抛物线y=ax+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0). (1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
一底的梯形
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(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解法一:
(1)依题意,抛物线的对称轴为x=-2. ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),
∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0).
(2)∵ 抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1, 0), ∴ a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴ t=3a.∴ y=ax2+4ax+3a.
∴ D(0,3a).∴ 梯形ABCD中,AB∥CD,且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a 上, ∵ C(-4,3a).∴ AB=2,CD=4. ∵ 梯形ABCD的面积为9,∴ ∴ a±1.
∴ 所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=?x2?4ax?3. (3)设点E坐标为(x0,y0).依题意,x0<0,y0<0, 且
y0x0=5212(AB?CD)?OD=9.∴
12(2+4)3a=9.
.∴ y0=-252x0.
①设点E在抛物线y=x+4x+3上,
∴y0=x0+4x0+3.
1?5??x=?,0?x0=?6,??y0=-x0,?2 解方程组? 得? 2?y=15;5?0?y=x2+4x+3?y?=.000?0?4?2 ∵ 点E与点A在对称轴x=-2的同侧,∴ 点E坐标为(?12,
54).
设在抛物线的对称轴x=-2上存在一点P,使△APE的周长最小. ∵ AE长为定值,∴ 要使△APE的周长最小,只须PA+PE最小. ∴ 点A关于对称轴x=-2的对称点是B(-3,0), ∴ 由几何知识可知,P是直线BE与对称轴x=-2的交点.
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