发布时间 : 星期六 文章求二元函数极限的几种方法更新完毕开始阅读9d0c3cbf4128915f804d2b160b4e767f5acf80e5
x2y2122,令 lim2?lim?0x?y?t,知 ,
x?0x?y2x?011y?0y?0?y2x21lntlim(x2?y2)ln(x2?y2)?limtlnt?lim?limt??limt?0 x?0t?0t?01t?0t?01y?0?2tt故原式=e0?1;
2.12运用洛必达法则求二元函数的极限
例21 求
lim[sin(x2y?xy2)(xy)].
(x,y)?(0,0)解: 由第一章定理7洛必达法则可知
(x,y)?(0,0)lim[sin(x2y?xy2)(xy)]
??1[cos(x2y?xy2)(2xy?y2)x?cos(x2y?xy2)(2xy?y2)y](x,y)?(0,0)2xylim3lim[cos(x2y?xy2)(x?y)]?0 2(x,y)?(0,0)2.13利用定义求二元函数极限
例22 用定义验证:lim?x,y???1,1?x?2?xy?y2?3.
?解: x2?xy?y2?3??x2?1???y2?1???xy?1 =
?
?x?1??x?1???y?1??y?1???x?1?y??y?1?
=?x?1??x?y?1???y?1??y?2??x?1x?y?1?y?1y?2,
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限定??0,则x?1?1,y?1?1. 从而
x?y?1?x?1?y?1?3?x?1?y?1?3?5,
y?2?y?1?3?y?1?3?4.
故
x2?xy?y2?3?5x?1?4y?1?5?x?1?y?1?.
???设?为任意正数,取??min?1,?,则当x?1??,y?1??,?x,y???2,1?时,就
?10?有x2?xy?y2?7?5?2??10???.
和一元函数一样,在使用函数定义求极限的时候,也伴随有放缩,这时要注意是对两个自变量的同时限制.
在二元函数的定义中,要求P(x,y)任意方式趋于P0(x0,y0)时,函数f(x,y)都无限接近于A.因此,很容易得到:若在f?x,y?的定义域内存在两条不同的连续曲线y?g?x?,y?h?x?,且当x?x0时,g(x)y0,h(x)y0,但函数式
f?x,y?沿着这两条曲线逼近?x0,y0?时的极限却不同,或者一个存在,另一个不
存在,则二元函数f?x,y?在此点不存在极限.
就这样,一道题有几种解法,哪个方法比较简单,比较合适就用哪个方法.
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