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实验四 方波的傅里叶分解与合成
一、实验目的
1.用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。 2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。
二、实验仪器
FD-FLY-A型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。
三、实验原理
1.数学基础
任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：
?1f(t)?a0??(ancosn?t?bnsinn?t)
2n?1其中：T为周期，?为角频率。?＝
a2?；第一项0为直流分量。 T2 图1 方 波 图2 波形分解的RLC串联电路 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成：
??h f(t)????h?T)2
T(??t?0)2(0?t?此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为：
f(t)? =
4h111(sin?t?sin3?t?sin5?t?sin7?t???) ?3574h??(n?1?1)sin[(2n?1)?t] 2n?12.周期性波形傅里叶分解的选频电路
我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。
本仪器具有1KHｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波的输出阻抗低，可以保证顺利地 完成分解实验。实验原理图如图2所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的。L一般取0.1H～H范围。
当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率?0为：
?0=
1LC。这个响应的频带宽度以Q值来表示：Q＝
?0LR。当Q值较大时，在?0附近的频带宽
度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。
如果我们调节可变电容C，在n?0频率谐振，我们将从此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：V(t)?bnsinn?0t，这时电阻R两端电压为： VR(t)?I0Rsin(n?0t??)，此式中
??tg?1(X/R)，X为串联电路感抗和容抗之和I0?bn/Z，Z为串联电路的总阻抗。
在谐振状态X＝0，此时，阻抗Z＝ｒ＋R＋RL＋RC＝ｒ＋R＋RL ，其中，ｒ方波（或三角波）电源的内阻；R为取样电阻；RL为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻(RC值常因较小而忽略）。电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，RL的数个将随频率的增加而增加。实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz范围内，阻值不随频率变化。 3.傅里叶级数的合成
仪器可提供振幅和相位连续可调的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz四组正弦波。如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形。
四、实验内容及步骤
1）方波的傅里叶分解
1.先确定RLC串联电路对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值C1、C3、C5，并与理论值进行比较。实验中，观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性，接线图如下。（电感：L=0.1H(标准电感)，理论值：Ci?1?L2i）
图3 确定RLC电路谐振电容接线图
2.将1KHz方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位，接线图如下。
图4 频谱分解接线图
将1KHz方波输入到RLC串联电路，如图5所示。然后调节电容值至C1，C3，C5值附近，可以
从示波器上读出只有可变电容调在C1，C3，C5时产生谐振，且可测得振幅分别为b1，b3，b5（这
’
’
’
里只需比较基波和各次谐波的振幅比，所以只要读出同一量程下示波器上的峰值高度即可）；而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。
3.相对振幅测量时，用分压原理校正系统误差。
'若：b3为3KHz谐波校正后振幅，b3为3KHz谐波未被校正时振幅。RL1为1KHz使用频率时损
耗电阻。RL3为3KHz使用频率时损耗电阻，r为信号源内阻。则：
'b3:b3?RRR?R?r' 则b3?b3?L3 :RL1?R?rRL3?R?rRL1?R?r1）测量方波信号源的内阻r。先直接将方波信号接入示波器，读出峰值；再将一电阻箱接入电路中，调节电阻箱，当示波器上的幅度减半时，记下电阻箱的值，此值即为r。接线图如下：
图5 测量信号源内阻的电路
2）不同频率电流通过电感损耗电阻的测定(选取取样电阻R=22?)。
图6 测量电感损耗电阻原理图
对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻RL 。接一个如图7的串联谐振电路。测量在