发布时间 : 星期一 文章2020届高考数学大二轮复习专题二三角函数解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质练习文更新完毕开始阅读9e4aa976393567ec102de2bd960590c69ec3d87b
?kπ-π,0?,k∈Z,令k=0,则其中一个对称中心为?-π,0?.故选A. ???3?3????
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为________.
π?5π?答案 ?-+kπ,+kπ?,k∈Z
12?12?
17ππ12π
解析 由函数的图象可得A=2,T=-=·,解得ω=2.再根据五点作图
41234ωπ?πππππ?法可知2×+φ=π,φ=,所以f(x)=2sin?2x+?.由-+2kπ≤2x+≤+
3?33232?5ππ
2kπ(k∈Z),可得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
1212
1.解析式y=Asin(ωx+φ)+B的确定方法 (1)A,B由最值确定,即A=最大值+最小值
B=.
2
T
(2)ω由函数周期确定,相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为,对称轴与相邻对2T
称中心之间的距离为. 4
(3)φ由图象上的特殊点确定,利用五点作图的五个特殊点直接确定. 2.三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.
(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负和它的平移要求.
(3)看移动单位:在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换都是沿x轴方向的,所以ω和φ之间有一定的关系,φ是初相,再经过ω的压缩,最后移动的单位是??.
ω
π??1.(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)=sin?2ωx-?(ω>0)的最小正周期3??π
为π,把f(x)的图象向左平移个单位后,所得函数图象的一条对称轴为( )
3
最大值-最小值
,
2
?φ???
- 5 -
A.x=0 πC.x= 8答案 B
πB.x=
12πD.x=
3
π?2π?解析 ∵函数f(x)=sin?2ωx-?(ω>0)的最小正周期为=π,∴ω=1,f(x)=3?2ω?π?2ππ?π??sin?2x-?.若将函数f(x)的图象向左平移个单位,可得y=sin?2x+-?=
3?33?3??π?ππkππ?sin?2x+?的图象,令2x+=kπ+,k∈Z,求得x=+,令k=0,可得所得函数3?32212?π
图象的一条对称轴为x=.故选B.
12
2.(2019·丹东市高三总复习质量测试(一))设函数f(x)=sinωx(ω>0),已知对于
?0,2π?内的任意x,总存在?0,2π?内的x,使得f(x)+f(x)=0,则ω的( ) ?1?212
3?3?????
A.最大值为3 9C.最大值为
4答案 D
B.最小值为3 9
D.最小值为 4
?2π??2π?解析 因为要满足对任意的x1∈?0,?,总存在x2∈?0,?,使得f(x1)+f(x2)=0,
3?3????2π?对于f(x)=sinωx(ω>0),则在?0,?上的函数值有正值,即f(x1)可以有正值,要存在x2
3??
使得f(x1)+f(x2)=0,则f(x2)需要有负值.又f(x1)可以取到最大值1,要存在f(x2),使得
f(x1)+f(x2)=0,则f(x2)要可以取到最小值-1,说明f(x)在x>0上取得第一个最小值的点
2π2π32π32π2π9
应在的左侧或者恰好落在处,所以T≤,即·≤,解得ω≥.故选D.
33434ω34
考向3 三角函数的性质
例3 (1)(2019·天津九校高三联考)已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象ππ
与x轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y26=g(x)的图象,则y=g(x)是减函数的区间为( )
?π?A.?-,0?
?3??ππ?C.?-,? ?42?
?π?B.?0,?
3??
D.?
?π,π? ??43?
- 6 -
答案 D
π??解析 f(x)=sinωx-3cosωx=2sin?ωx-?,因为图象与x轴的两个相邻交点的距3??π?Tπ??π?π??离等于=,所以T=π,ω=2,所以f(x)=2sin?2x-?.所以g(x)=2sin?2?x+?-?6?3?3?22???π3ππ3π
=2sin2x.由+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ,所以y=g(x)是减
22443π?π?函数的区间为?+kπ,+kπ?(k∈Z).分析选项只有D符合.故选D.
4?4?
??π??(2)若将函数y=sin?2?x+??的图象向右平移m(m>0)个单位长度后所得的图象关于直
6????
π
线x=对称,则m的最小值为( )
4
A.
ππππ B. C. D. 12643
答案 B
π????解析 平移后所得的函数图象对应的解析式是y=sin?2?x-m+??,如果该函数的图象
6????π?ππkππ?π
关于直线x=对称,则2?-m+?=kπ+(k∈Z),所以m=-+(k∈Z),又m>0,
6?4226?4π
故当k=0时,m最小,此时m=.
6
(3)已知函数f(x)=|sinx|·cosx,则下列说法正确的是( ) A.f(x)的图象关于直线x=B.f(x)的周期为π
C.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z)
π
对称 2
?π3π?D.f(x)在区间?,?上单调递减
4??4
答案 D
解析 因为f(x)=|sinx|·cosx,所以函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式为f(x)=1
??2sin2x,0≤x≤π,?1??-2sin2x,π 且 f(x)是偶函数,画出f(x)的大致图象(图略)可知D选项正确.故选D. 求解函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题的三种意识 - 7 - (1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式. (2)整体意识:类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解. π ①令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程. 2②令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标. ③将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意ω的符号. (3)讨论意识:当A为参数时,求最值应分情况讨论A>0,A<0. 1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π).若对任意x∈R,f(1)≤f(x)≤f(6),则( ) A.f(1016)-f(1017)>0 B.f(1016)-f(1017)=0 C.f(1016)+f(1017)<0 D.f(1016)+f(1017)=0 答案 A 解析 ∵0<ω<1,∴函数f(x)的最小正周期T>2π.∵对任意x∈R,f(1)≤f(x)≤f(6),∴f(1)=-1,f(6)=1,函数f(x)在区间[1,6]上单调递增,∴=6-1=5,即T=10.∴f(1016) 2=f(6),f(1017)=f(7).又∵函数f(x)的图象关于直线x=6对称,∴f(1017)=f(7)=f(5).∵函数f(x)在区间[1,6]上单调递增,∴f(5) π 2.(2019·宁夏银川高三下学期质检)将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向左平移个 8单位得到g(x)的图象,则g(x)在下列哪个区间上单调递减( ) T?π?A.?-,0? ?2??π?C.?0,? 2?? 答案 C B.?D.? ?π,9π? ??1616??π,π? ??2? π?π?解析 将函数f(x)=sin2x+cos2x=2sin?2x+?的图象向左平移个单位得到g(x)4?8?π???π?π???π?=2sin?2?x+?+?=2sin?2x+?=2cos2x,在区间?-,0?上,则2x∈[-π, 8?4?2???2??? ?π9π??π9π?0],g(x)单调递增,故A不满足条件;在区间?,?上,则2x∈?,?,g(x)不单调, 8??1616??8 - 8 -