发布时间 : 星期三 文章高中数学求数列通项公式与求和的方法总结教案练习答案更新完毕开始阅读9e6a9f29fd00bed5b9f3f90f76c66137ee064fb4
学生教案
数列求通项公式的方法
一、叠加法
1．适用于： an +1 = an + f (n ) ---------- 本的两个方法之一。 2．若 an 1 an
a2 a1 a3 a2
则
这是广义的等差数列 累加法是最基
f (n) (n 2) ，
f (1) f (2)
an 1
a
n
f (n)
n
k 1
两边分别相加得 an 1 a1 例 1 已知数列
f ( k)
{ }
a
n
满足 an 1 an
，
2n 1 a1
，求数列 { a } 的通项公式。
1
n
解：由 an 1
an ( an
an 2n 1 得 an 1 an
2n 1则
an 1) (an 1 an 2 )
( a3 a2 ) (a2 a1 ) a1
[2( n 1) 1] [2( n 2) 1] (2 2 1) (2 1
1) 1
2[( n 1) (n 2) 2 1] ( n 1) 1 ( n 1)n 2 ( n 1) 1
2
( n 1)(n 1) 1 n2
所以数列 { an} 的通项公式为 an
n2 。
Sn
1 (an
例 2. 已知数列 { an } 中, an
0 且 Sn
2
n )
an , 求数列{ a }
n的通项公式 .
Sn
1 (an n )
1
(Sn
S
n 1
n Sn
)
n 1
解: 由已知
2
an 得
2
S
,
22SSn2 n Sn 1 n
化简有 , 由类型 (1) 有
S12 2 3
n ,
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学生教案
1
2
n(n 1)
2
2n( n 1)
又
S
1
a
得
a
1
1 , 所以 1)
Sn
, 又
a
n
0 ,
sn
2
,
an
2n(n
2n(n 1)
则
2
练习 1，已知数列 公式 .
an
的首项为 1，且
a
n 1
an 2n(n
N* ) 写出数列 an 的通项
2 n 答案：
n 1
2)
an an 1
1 n(n 1)
(n
练习 2. 已知数列 { an } 满足 a1
3 ，
，求此数列的通项公
式 .
答案：裂项求和
an 4
1 n
练习 3. 已知数列 an 满足 a1
1
2
， an 1 an
1 ，求 an 。 n2 n
解：由条件知： an
1
a1
n
1
n n( n 1)
1 n
1 n 1
n2
分别令 n
1,2,3,
, (n 1) ，代入上式得 ( n 1) 个等式累加之，即
(a2 a1 ) ( a3
(1 ) (
2
a2 ) (a4 a3 ) ) (
(an an 1 ) (
11 11
2 3 a1 1
1) 3 4
1
1)
n 1 n
所以 an
1 n 1 2
a1 ， an
1
2
1 1
n 3 1 2 n
评注：已知 a1 a ,
aan 1n
f (n) ，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次
函数、指数函数、分式函数，求通项
an
.
;
①若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和
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②若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和
;
③若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ; ④若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
二、叠乘法 1. 适用于：
an 1
f (n)an ----------
这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若
an 1 an
f (n) ，则
a2
f (1)，
a3 a2
n
f (2)，
an 1
，
f ( n)
a1 an
两边分别相乘得，
an 1
a1
k 1
f (k)
a1
例 3. 已知数列 an 满足 a1
2 ， an 1
解：由条件知
a
n 1
3
n an ，求 an 。 n 1
, (n 1) ，代入上式得 (n 1)
an
n ，分别令 n 1,2,3,
n 1
个等式累乘之，即
a2 a3 a1 a2
a4 a3 3
an 1 2 3 2 3 4
n 1 n
an a1
1 n
aan
n 1
又 a1 2 ，
2 3n
练习 1. 已知数列 { an } 满足 an 1 解：因为 an
2( n 1)5n an， a1 3 ，求数列 { an } 的通项公式。
1
2( n 1)5
n
an， a1
3 ，所以 an
0 ，则
a
n 1
2( n 1)5n ，故
an
a
n
n 1 an
an 1 an 2
aaa
3
2
a
1
a2 a1
[2( n 1 1)5n 1 ][2( n 2 1)5n 2 ] 2n 1[ n(n
[2(2
2 1
1) 52 ][2(1 1) 3
51] 3
1) 5
2
3 2]
5( n 1) ( n
2)
n( n 1)
3
2n 1
n!
n ( n 1)
所以数列 { an} 的通项公式为 an
3
2n 1
5
2
n!.
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练习 2. 设 n 是首项为 1 的正项数列，且
a
n
1 an2 1 nan2
aa0n 1 n（ n =1，2，
3，?），则它的通项公式是 n =________. 解：已知等式可化为：
a
(an
1
an ) (n
1) an 1 na n
a
0
n 1
n n 1
an
0 ( n N )
*(n+1) n n
a
n 1
nan
0 ,
即
a
n
a n
n 2 时， an
1
a
n 1
an an 1 an 1 an 2
a2 a1
n 1
a1
n 1 n 2
1
1
1
=
n
n 1
2 = .
n
评注：本题是关于 根公式）得到
a
n
和
a
的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求
an
与
an 1
的更为明显的关系式，从而求出
an
.
练习 . 已知
an 1
nan
n 1, a11) -1.
, 求数列 {an} 的通项公式 .
1答案： an ( n 1)! (a1
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
an 1 1 n( an 1), 若令 bn an
an 1 na n n
1,
转化为
形式，进而应
1
, 则问题进一步转化为
bn 1nb n
用累乘法求出数列的通项公式 .
三、待定系数法
适用于 an 1 qan f (n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数， 其定义域是
自然数集的一个函数。
1．形如
an 1
ca nd, (c
n
0
aa ) 型 其中,
1
（ 1）若 c=1 时，数列 {
a
} 为等差数列 ; } 为等比数列 ;
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（ 2）若 d=0 时，数列 {
a
n