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相似三角形基本知识点总结及练习
知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念
1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那
么就说这两条线段的比是AB:CD＝m：n
例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。
2.比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
ac?（或a：bdb=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段
比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。）
例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。 （2）比例性质
ac??ad?bc （两外项的积等于两内项积） bdacbd2.反比性质： ??? (把比的前项、后项交换)
bdac1.基本性质:
3.更比性质(交换比例的内项或外项)：
?ab(交换内项)?c?d，?ac?dc????，(交换外项)bdba??db(同时交换内外项)?c?a．?
4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如果
a?c?e???maacem?． ?????(b?d?f???n?0)，那么
b?d?f???nbbdfn注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
例：已知
ace4a?c?e???(b?d?f?0),求的值 bdf5b?d?faca?bc?d???bdbd（分子加（减）分母,分母不变） ．
5.合比性质：
知识点二：平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示： ∵AD//BE//CF,
∴
ABBC
=
DEBCEFAC
,=
EFABDFAC
,=
DEDF
2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
（1）是“A”字型 （2）是“8”字型 经常考，关键在于找
几何语言：由DE∥BC可得：更加广泛,条件是平行.
ADAEBDECADAE.此推论较原定理应用?或?或?DBECADEAABACAG
2
DF
例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,GC=3，则DC=_______。
知识点三：相似形多边形
1.定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
3.判定：如果两个多边形的对应边成比列，对应角相等，那么这两个多边形相似。
（注意：判断两个多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比列，这两个条件缺一不可。）
4.任意两个等边三角形相似，任意两个正方形相似，任意两个正n边形相似。 例1：下列判断正确的是（ ）
A.两个矩形一定相似 。 B.两个平行四边形一定相似。 C.两个正方形一定相似。 D.两个菱形一定相似。
例2：小明将一张报纸对折，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，你能算出
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报纸的长与宽的比吗？ 知识点四：黄金分割
(1) 定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
ACBC，即?ABACAC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
AC5?1??0.618 AB2所以：AC?5?13?5AB≈0.618AB。BC?AB 22 例：已知线段AB=10cm,点C是AB的 黄
金分割点，且AC＞BC ，求AC和BC的长。
(2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点. 作法：①过点B作BD⊥AB，使BD=AB；
21
②连结AD，在DA上截取DE=DB；
③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：
.
（3）黄金矩形：在矩形中，如果宽与长的比是黄金比，那么这个矩形叫做黄金矩形。
（4）黄金三角形：顶角为36。的等腰三角形叫做黄金三角形，因为该三角形的底边比上腰长等于
√5?1
2
例：如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是角平分线． (1)求证：AD2=CD·AC；
(2)若AC=a，求AD．
知识点五：相似三角形 1、 相似三角形
（1）定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
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几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似（相似比为1）。
两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
（2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
（3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。 （4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.三角形相似的判定定理：
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。(此定理用的最多)
几何语言：在△ABC和△DEF中 如果 判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：（如上图）在△ABC和△DEF F中 如果 判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言：（如上图）在△ABC和△DEF中 如果DE=DF= 例1：如图，（1）若则△ABC∽△AEF。 AB AC BCEF AB AC ，那么△ABC∽△DEF AE（2）若∠E＝________，?________,则△ABC∽△AEF； AB 1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 直角三角形相似判定定理: ○ 2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○ 3.补充：直角三角形中的相似问题： 斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理： CD2=AD·BD， AC2=AD·AB， - 4 - / 9