发布时间 : 星期四 文章高考一本解决方案2017版高考数学文科新课标版专题训练:专题九 数列 doc更新完毕开始阅读9ecbfe3d0166f5335a8102d276a20029bd646374
1.(2012·大纲全国,6,中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ) A.2
n-1
3? B.??2?n-1
2?C.??3?
n-11
D.n-1
2
Sn+13
1.B 由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn
Sn23?=??2?n-1
,故选B.
1
2.(2014·课标Ⅱ,16,易)数列{an}满足an+1=,a=2,则a1=________.
1-an22.【解析】 ∵an+1=1
∴a2==2,
1-a11
即a1=.
21
【答案】 2
1
,a=2, 1-an2
1
3.(2012·上海,14,中)已知f(x)=.各项均为正数的数列{an}满足a1=1,
1+xan+2=f(an).若a2 010=a2 012,则a20+a11的值是________. 3.【解析】 ∵an+2=f(an)=1213a5==,a7==,
13251+1+
231518
a9==,a11==,
385131+1+
58又a2 010=a2 012,
1
即a2 010=?a2+a2 010-1=0,
1+a2 0102 010∴a2 010=5-1?-5-1?.
??a=舍去2 0102?2?
11
,a1=1,∴a3=,
21+an
5-11
又a2 010==,
21+a2 008∴1+a2 008=即a2 008=135+3
. 26【答案】
135+3
26
5+12
=,
25-1
5-15-15-18
,依次类推可得a2 006=a2 004=…=a20=,故a20+a11=+=22213
4.(2012·广东,19,14分,中)设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式. 4.解:(1)令n=1时,T1=2S1-1, 因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1, 所以a1=1.
(2)当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,
则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1. 因为当n=1时,a1=S1=1也满足上式, 所以Sn=2an-2n+1(n≥1).
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,
两式相减得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2), 所以an+2=2(an-1+2). 因为a1+2=3≠0,
所以数列{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列. 所以an+2=3×2n1,
-
所以an=3×2n1-2.
-
当n=1时也满足上式, 所以an=3×2n1-2.
-
本考向在高考中一般以小题出现,有时也可出现在解答题中的某一问,作为解决问题的工具来出现,难度中等.
1(2014·大纲全国,17,10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.
【解析】 (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得, an+2-an+1=an+1-an+2, 即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)得bn=1+2(n-1), 即an+1-an=2n-1.
nk1
nk1
于是∑ (ak+1-ak)=∑ (2k-1), ==所以an+1-a1=n2, 即an+1=n2+a1.又a1=1,
所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题.第(1)问中要注意对数列{an+1-an}的整体把握.第(2)问中用的是累加法.注意切忌忽略对a1的验证.
1.(2015·山东潍坊一模,13)在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-
an(n∈N*),则a2 015=________.
1.【解析】 由an+2=an+1-an得an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an,易得an+4=-an+1,an+5=-an+1+an,an+6=an,
∴该数列的周期为6,故a2 015=a5,由a1=1,a2=5,得a3=4,a4=-1,a5=a4-a3=-1-4=-5.∴a2 015=a5=-5. 【答案】 -5
2.(2014·安徽合肥一模,14)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=______________.
2.【解析】 由an+2+2an-3an+1=0,得an+2-an+1=2(an+1-an),
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,2为公比的等比数列,∴an+1-an=3× 2n1,
-
∴n≥2时,an-an-1=3×2n2,?,a3-a2=3×2,a2-a1=3,
-
将以上各式累加得
an-a1=3×2n2+…+3×2+3=3(2n1-1),
-
-
∴an=3×2n1-2(当n=1时,也满足).
-
【答案】 3×2n1-2,
-
典型的递推数列及处理方法
递推式 an+1=an+f(n) an+1=f(n) anan+1=pan+q (p≠0,1,q≠0) an+1=pan+q·pn+1 方法 叠加法 示例 a1=1, an+1=an+2n 累乘法 化为等比数列 化为等差数列 an+1na1=1,=2 ana1=1, an+1=2an+1 a1=1,an+1=3an+3n1 +(p≠0,1,q≠0)