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第八章 数字信号最佳接收原理
1．试求出例8.1中输出信号波形s0(t)的表达式。 解：由
?1, 0?t?T s(t)???0, 其他
可得匹配滤波器的特性为
?1, 0?t?T h(t)?s(T?t)??
?0, 其他
输出信号波形表达式为 ?t, 0?t?T ?? s0(t)????s(t??)h(?)d???T?t, T?t?2T ?0, 其他 ?
2．设一个二进制单极性信号传输系统中信号“0”和“1”是等概发送的。试问：(1)若接收滤波器在收到“1”时，在抽样时刻的输出信号电压为1V，输出的高斯噪声电压平均电平均值为0V，均方根值为0.2V，试问在最佳判决门限下的误码率等于多少？(2)若要求误码率不大于10-4，试问这时的信号电压至少应该多大？ 解：(1) 由题意，噪声的均方根值为0.2V，则可知噪声的方差为?2=0.04，又因为噪声的均值为0V，则其平均功率为Pn=?2=0.04 W。 信号功率为Ps=0.5，可得
EbPs0.5
???12.5 n0Pn0.04对于二进制单极性传输系统，最佳判决门限下的误码率为
1Eb11
Pe?erfc()?erfc(12.5/4)?erfc(3.125)?0.0062 24n022(2) 若要求Pe<10-4，假定信号电压为A，即 1Eb112Pe?erfc()?erfc(A?12.5/4)?erfc(3.125A2)?10?4 24n220A?1.49 V
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利用Matlab可以计算erfc，直接键入erfc( )即可。
(对等概二进制单极性信号的平方求统计平均所得，且Ps=RS(0) ) 3．设一个二进制双极性信号最佳传输系统中信号“0”和“1”是等概率发送的，信号码元的持续时间为T，波形为幅度等于1的矩形脉冲。系统中加性高斯白噪声的双边功率谱密度等于10-4W/Hz。试问为使误码率不大于10-4，最高传输速率可以达到多高？ 解：由题意n0/2=10-4 W/Hz，又由于 EbPs11??? n0Pnn0(1/T)n0RB对于二进制双极性传输系统，最佳判决门限下的误码率为 1Eb1Pe?erfc()?erfc(1/n0RB)?10?4 2n02查表可得 1/n0RB?2.63,可得RB?723若采用滚降系统，则系统最高传输速率可达B/2=362 b/s。 RB=??Bc (BPSK调制余弦滚将?=1时，?=0.5) 4． 设到达接收机输入端的二进制信号码元s1(t)及s2(t)的波形如图(a)、(b)所示，输入高斯噪声功率谱密度为n0/2(W/Hz)。(1) 画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构(抽样时刻t0=T)；(2) 确定匹配滤波器的冲激响应及可能的输出波形；(3) 求系统误码率。 s2(t) s1(t) A0 A0
0 T/2 T t 0 T/2 T t
(a) (b)
解：(1) 匹配滤波器形式的最佳接收机结构如图所示 h1(t)=s1(T-t) 抽样 r(t) 输出
比较 t=T 判决
H2(t)=s2(T-t) 抽样
t=T
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(2) 由题意可得
h1(t)=s1(T-t)= s2(t) h2(t)=s2(T-t)= s1(t)
所以，h1(t)的波形图如(b)所示，h2(t)的波形图如(a)所示。 可能的输出波形如下图所示 s1(t)?h1(t) s1(t)?h2(t) A02T/2 A02T/2
0 T/2 T 3T/2 t 0 T/2 T 3T/2 t
s2(t)?h2(t) s2(t)?h1(t) 2
A02T/2 A0T/2
0 T/2 T 3T/2 t 0 T/2 T 3T/2 2T t
(3) Eb1= Eb2 = Eb =A02T/2
1T ??s1(t)s2(t)dt?0?0 Eb所以系统的误码率为 ?A2T??Eb?110Pe?erfc??erfc??????? 2?2n0?2?4n0?
5．对于二进制数字基带传输系统，在理想信道下，系统总的传输函数
1为 ?Ts(1?cos?fT), |f|?s?TsH(f)??2
?0, 其他 ?式中，Ts为码元间隔。发送信号波形为 s (t ) ? ? a n? ( t ? nT s ), a n ? ? a ，
n发送“1”和“0”符号的概率相等。信道为加性高斯白噪声，双边功率谱密度为n0/2。求：(1)将该系统构成最佳基带传输系统的发送滤波器和接收滤波器的传输函数；(2)系统的误码率。
解：(1) 由题意可知，理想信道C(f)=1，系统总的传输函数为 H(f)=GT(f)GR(f)
根据理想信道下最佳基带传输系统收、发滤波器满足的条件，可得
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1 2?fTs?Ts1/22?fTs?GT(f)?GR(f)?[H(f)]???2cos??Tscos 2?2?2(2) 信号共有两电平，即M=2。由于信号为双极性，相邻电平间隔的一半d=a，则平均码元能量为
2 d2aE?(M2?1)?(22?1)?a2 33系统的误码率
?a2? ??E?113E?1Pe?(1?)erfc???erfc??erfc????2?????? M?M?1n0?2?n0?2?n0?
6．最佳接收机的误码率通常小于实际接收机的误码率，试解释原因。 答：若将实际接收机误码率公式中的信噪比r换成Eb/n0，即为最佳接收机的误码率。实际接收机中的信号噪声功率比r=S/N=S/n0B，而最佳接收机中的码元能量和噪声功率谱密度之比Eb/n0= S/n0(1/T) (T为码元宽度)。实际接收机输入端总有一个带通滤波器，而最佳接收机的前端没有滤波器。在实际接收机中，为使信号顺利通过，通常要求带通滤波器的带宽必须满足B>1/T，即r< Eb/n0，所以最佳接收机的误码率通常小于实际接收机的误码率。
7．数字信号最佳接收的准则是什么？最佳接收机的性能与波形相关系数?有关，最佳的波形相关系数?为多少？对应的实际信号波形由那些？
答：数字信号最佳接收的准则是似然比准则；最佳波形相关系数?=-1；对应的实际信号波形由2PSK和2DPSK。
8．在数字通信中最直观和最合理的准则是( 最小差错概率准则 )。 9．相关接收机的实现机理是，在接收端需提供( 输入信号本地样本 )波形，并与接收的混合波形进行( 互相关 )运算。
10．匹配滤波器就是指( 输出信噪比 )最大的线性滤波器。其依据的准则为( 输出最大信噪比准则 )，如果信号f(t)的频谱为F(?)，则匹配滤波器的传输函数为( H(?)=kF?(?)e-jt0 )，冲激响应为( h(t)=kf(t0-t) )。
11．设加性高斯白噪声的单边功率谱密度为n0，输入信号的能量为E，则匹配滤波器在t=T时刻输出的最大信噪比为( 2E/n0 )。
?Eb(1??)?12．计算相关接收误码率的通式为( P e ? erfc ?? 2 n ??)，式中?表示( 20??1信
号码元波形的相关系数 )，最佳信号设计时，?=( -1 )。
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