发布时间 : 星期一 文章2019年山西省高考数学二模试卷(文科)更新完毕开始阅读9f40a53d50e79b89680203d8ce2f0066f533648b
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20．（12分）已知椭圆C：
的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为A1，A2．
（1）P为C上任意一点，求|PF1|?|PF2|的最大值；
（2）椭圆C上是否存在点P，使PA1，PA2与直线x＝4相交于E，F两点，且|EF|＝1．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意定义可知，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，然后利用基本不等式求|PF1|?|PF2|的最大值；
（2）不妨设P（x0，y0）（y0＞0），又A1（﹣2，0），A2（2，0），分别写出PA1，PA2的方程，求出E，F的坐标，由|EF|＝1可得x0+y0＝4，把x0＝4﹣y0代入得
，此方程无解，可知满足条件的P点不存在．
，
【解答】解：（1）由题意定义可知，|PF1|+|PF2|＝2a＝4， ∴
．
∴|PF1|?|PF2|的最大值为4，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立； （2）不妨设P（x0，y0）（y0＞0）， ∵A1（﹣2，0），A2（2，0）， ∴PA1：
，令x＝4，得
，
PA2：
，令x＝4，则．
∴|EF|＝＝．
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∴x0+y0＝4， 把x0＝4﹣y0代入
，得
．
∵△＝64﹣240＜0，∴满足条件的P点不存在．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝e﹣alnx（a∈R，a＞0）． （1）若a＝e，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）≥a（2﹣lna）．
【分析】（1）a＝e时，函数f（x）＝e﹣elnx．x∈（0，+∞）．f′（x）＝（x）＝xe，利用导数研究其单调性即可得出． （2）f′（x）＝e﹣＝点，设为x0，则x0
x
x
x
x
．令g
．由（1）可知：f（x）在x∈（0，+∞）上必有唯一零
＝a．利用单调性即可证明结论．
x
【解答】（1）解：a＝e时，函数f（x）＝e﹣elnx．x∈（0，+∞）． f′（x）＝e﹣＝
xx
．
x
令g（x）＝xe，则g′（x）＝（x+1）e＞0， ∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． 又g（1）＝e．
∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时单调递增．
∴函数f（x）的单调递减为（0，1）；单调递增为（1，+∞）． （2）证明：f′（x）＝e﹣＝
x
．
＝a．
由（1）可知：f（x）在x∈（0，+∞）上必有唯一零点，设为x0，则x0
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，此时单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时单调递增． ∴f（x）≥f（x0）＝由x0
＝a，可得：
﹣alnx0． ＝
，lnx0+x0＝lna．
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∴f（x）≥f（x0）＝+ax0﹣alna≥2a﹣alna．
∴f（x）≥a（2﹣lna）．
【点评】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点，考查学生的运算推理能力，属于难题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23、题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）已知直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣2sinα﹣2cosα＝0． （1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l倾斜角求α的值． 【分析】（1）由ρ﹣2sinα﹣2cosα得ρ﹣2ρsinα﹣2ρcosα＝0，得曲线C的直角坐标方程为 x+y﹣2x﹣2y＝0；
（2）设出直线l的方程后，利用圆中的直角三角形列式可得．
【解答】解（1）由ρ﹣2sinα﹣2cosα得ρ﹣2ρsinα﹣2ρcosα＝0，得曲线C的直角坐标方程为 x+y﹣2x﹣2y＝0；
（2）易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：kx﹣y+设圆心C（1，1）到直线了的距离为d， 由直角三角形可知2＝2
，∴d＝1，
k＝0（k＝tanα），
2
2
2
2
2
2
∴＝1，解得k＝0，或k＝1，
∴α＝0，或α＝．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣m|．
（1）当m＝﹣1时，画出函数y＝f（x）的图象；
（2）不等式f（x）≥|2m+1|﹣2恒成立，求m的取值范围．
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【分析】（1）当m＝1时，代入可得f（x）＝|x﹣1|+|x+1|，讨论x的范围，结合一次函数的图象即可
（2）由绝对值不等式可得f（x）＝|x﹣1|+|x﹣m|≥||m﹣1|，从而有|m﹣1|≥|2m+1|﹣2恒成立，结合含有绝对值的不等式的解法即可求解m的范围
【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＝
其图象如图所示，
\\（2）∵f（x）≥|2m+1|﹣2恒成立， 又∵f（x）＝|x﹣1|+|x﹣m|≥||m﹣1| ∴|m﹣1|≥|2m+1|﹣2恒成立， ∴
或
或
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