发布时间 : 星期三 文章高中数学求函数值域的方法更新完毕开始阅读a016ecedf121dd36a32d8281
y2?(x?3)?(5?x)?2?x2?8x?15
由x??3,5?,得?x2?8x?15??0,1??y??2,4?2
?原函数值域为2,2（16）一一映射法
??ax?b(c?0)在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变cx?d量范围，就可以求另一个变量范围。
原理：因为y?例1. 求函数y?1?3x的值域。 2x?111??解：∵定义域为?x|x??或x???
22??1?y1?3xx? 由y?得
2y?32x?1故x?1?y1?y11??或x??? 2y?322y?3233解得y??或y??
223??3??故函数的值域为???,?????,???
2??2??（17）其他方法
其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。
例1. 求函数y?x?2的值域。 x?3解：令t?x?2(t?0)，则x?3?t2?1 （1）当t?0时，
y?t11??1t2?1t?12，当且仅当t=1，即x??1时取等号，所以0?y?
2t（2）当t=0时，y=0。
?1?综上所述，函数的值域为：?0,?
?2?注：先换元，后用不等式法
1?x?2x2?x3?x4例2. 求函数y?的值域。 241?2x?x?1?x21?2x2?x4x?x3???解：y?2424?1?x21?2x?x1?2x?x??1?x2????cos2? 令x?tan，则?2??2?1?x?x1?sin? 1?x222?x?? 2?1?x?2111?17??y?cos??sin???sin2??sin??1???sin????
4?1622?22∴当sin??117 时，ymax?164当sin???1时，ymin??2
17????2,tan 此时都存在，故函数的值域为??162??注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin?的有界性。
x例3.求函数 y?2(x?0) 的值域
解：（图象法）如图，值域为?0,1?
?1?例4.求函数y????3??x2?2x 的值域
t?1?22解（复合函数法）：令t??x?2x??(x?1)?1，则y???(t?1)
?3?由指数函数的单调性知，原函数的值域为?,???
?3?例5.求函数y?x?1?x2的值域 解（三角代换法）： ??1??1?x?1 ?设x?cos????0,??
y?cos??sin??cos??sin??2sin(??)??1,2 4?原函数的值域为?1,2?????小结：
（1）若题目中含有a?1，则可设
a?sin?,??2????2(或设a?cos?,0????)
（2）若题目中含有a2?b2?1 则可设a?cos?,b?sin?，其中0???2?
（3）若题目中含有1?x2，则可设x?cos?，其中0???? （4）若题目中含有1?x2，则可设x?tan?，其中??2????2
（5）若题目中含有x?y?r(x?0,y?0,r?0)，则可设x?中???0,????? 2?rcos2?,y?rsin2?。其
x2?1例6、求函数y?2 的值域
x?12解法一：（逆求法）?x?1?y?01?y??1?y?1
?原函数的值域为??11?
解法二：（复合函数法）设x2?1?t ， 则 y?1?22?1?(t?1)
tx2?12?2??1?y?1 t?原函数值域为??1,1??t?1?0?2解法三：（判别式法）原函数可化为 (y?1)x?0?x?y?1?0
1） y?1时 不成立
2） y?1时，??0?0?4(y?1)(y?1)?0??1?y?1
??1?y?1
综合1）、2）值域{y|?1?y?1} 解法四：（三角代换法）?x?R?????设x?tan?????,?，则
?22?1?tan2?y????cos2??2?????,???cos2????1,1? 21?tan? ?原函数的值域为{y|?1?y?1}
小结：
ax2?bx?c已知分式函数y?2(a2?d2?0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值
dx?ex?f域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为
二次式一次式(或y?)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大
一次式二次式a最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y?x?(x?0)的单调性去解。
xy?注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin?的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 五、与函数值域有关的综合题
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
23如果要求λ∈［,］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
34解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 将x=
2210?5代入上式得 S=5000+4410 (8?+
5?),
8cm当8?=
55,即λ=(<1)时S取得最小值
88?4840此时高 x=
?5=88 cm, 宽 λx=×88=55 cm
8
5cm[来源学科网][来源:Zxxk.Com]
8cm5cm