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基于循环码的差错控制编码系统建模与仿真
一、设计目的及要求
设计目标：通过利用MATLAB/simulink系统仿真功能，设计一个基于循环码的差错控制编码系统。
实验知识要求：循环码的编、译码原理，差错控制编码系统的特点。MATLAB/simulin系统仿真知识。 实验软件平台：MATLAB 7.0软件。
二、课程设计的任务
2.1循环码及差错控制编码的概念及理论基础 2.1.1循环码的概念及生成多项式
在实际应用中，数据传输一般采用系统码的编码方式，即在发送的信息序列之后附加上特定位数的冗余位，该冗余位称为所发送信息序列的监督位。监督位一般是由所发送的信息序列经过恰当的变化而生成的。若监督位由信息位经线性组合而得到，则称得到的系统码为线性分组码。
在线性分组码中有一类重要的码，称为循环码。这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且检错和纠错的能力都较强。循环码除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性，即任一码组循环一位后仍然是该编码中的一个码组。（n，k ）循环码表示其中信息位为k，监督位为n-k。
如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。在循环码中，次数最低的非0首多项式就是生成多项式g(x)，其他码多项式都是其倍数。（n，k）循环码的生成多项式g(x)一定是xn+1的因式：xn+1=g(x)h(x)；反之，若g(x)为n-k次，且能被xn+1整除，则此g(x)一定生成一个（n，k）循环码。
2.1.2差错控制编码的基本概念
信道编码的目的是提高信号传输的可靠性，信道编码是在经过信源编码的码元序列中增加一些多余的比特，目的在于利用这种特殊的多余信息去发现或纠正传输中发生的错误。在信道编码只有发现错码能力而无纠正错码能力时，必须结合其他措施来纠正错码，避免删除错码带来的负面影响。上诉手段称为差错控制。
在对乘性干扰和加性干扰进行处理后仍不能达到误码率要求时，就需要采用
差错控制措施。差错控制技术有以下4种：
（1）检错重发：在发送码元中加入差错控制码元，当检测到有错码时，利用反向信道通知发送端重发。
（2）前向纠错(FEC)：接收端通过发送码元中的差错控制码元，不但能发现错码，而且还能纠正错码。
（3）反馈校验：不需要在发送序列中加入差错控制码元，而是将接收到的码元全部转回发送端，在发送端逐一比较，如发现有不同，则发送端重发。
（4）检错删除：在接收端发现错码后，立即将其删除，不要求重发。 为了在接收端能够发现或纠正错码，在发送码元序列中需要加入一些差错控制码元，称为监督码元或监督位。加入监督码元的方法称为差错控制编码方法或纠错编码方法。一般来说，加入的监督码元越多，检纠错能力就越强。另一方面，加入的监督码元越多，传输效率就越低。检纠错就是用降低传输效率换取传输可靠性的提高。
2.2 差错控制编码的基本原理
纠错编码：对原来的信息代码重新编写，根据需要增加一些监督码，使在输出端能够识别出错码。
分组码的结构：将信息码分组，为每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。
图2.1 分组码的基本结构
分组码的符号：(n, k)
N 表示码组的总位数，又称为码组的长度（码长）， k 表示码组中信息码元的数目，
n-k=r 表示码组中的监督码元数目，或称监督位数目。
2.3循环码的编码译码原理 2.3.1循环码的编码原理和方法
循环码在编码时，首先需要根据给定循环码的参数（n,k）确定生成多项式g(x)，也就是从xn+1的因子中选一个（n-k）次多项式作为g(x)。利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。
根据上述原理，可以对给定的信息位进行编码。对于（n,k）循环码，设m(x)
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表示信息码多项式，根据循环码编码方法，其次数必小于k。而xn?km(x)的次数必小于n，用xn?km(x)除以g(x)，可得余数r(x)，r(x)的次数必小于g(x)的次数（n-k）。将r(x)加到信息位后作监督位，即将r(x)+xn?km(x)就得到了系统循环码。因此，编码步骤可以归纳为：
（1）用xn?k乘m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n-k）个“0”。例如，信息码为110，它相当于m(x)＝x2+x。当n-k＝7-3＝4时，xn?km（x）＝
x6+x5，它相当于1100000。
（2）求r(x)。由于循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，也就是：
因此，用xn?km(x)除以g(x)，就得到商Q(x)和余式r(x)，即
（2.1）
（2.2）
这样就得到了r(x)。
（3）求A(x)。编码输出系统循环码多项式A(x)为：
例如，对于（7，3）循环码，若选用 时：
（2.3）
，信息码110
上式相当于
（2.4）
这时的编码输出为：1100101。
上诉(n,k)循环码的编码过程，在硬件实现时，可以利用除法电路来实现，这里的除法电路采用一些移位寄存器和模2加法器来构成。
当信息位输入时，开关位置接“2”，输入的信息码一方面送到除法器进行运算，一方面直接输出；当信息位全部输出后，开关位置接“1”，这时输出端接到移位寄存器的输出，这时除法的余项，也就是监督位依次输出。
编码器的工作过程如下：
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图2.2 （7,3）循环码编码器
2.3.2循环码的译码原理和方法
对于接收端译码的要求通常有两个：检错与纠错。达到检错目的的译码十分简单，可以由式（2-1），通过判断接收到的码组多项式B(x)是否能被生成多项式g(x)整除作为依据。当传输中未发生错误时，也就是接收的码组与发送的码组相同，即A(x)=B(x)，则接收的码组B(x)必能被g(x)整除；若传输中发生了错误，则A(x)≠B(x)，B(x)不能被g(x)整除。因此，可以根据余项是否为零来判断码组中有无错码。
需要指出的是，有错码的接收码组也有可能被g(x)整除，这时的错码就不能检出了。这种错误被称为不可检错误，不可检错误中的错码数必将超过这种编码的检错能力。
在接收端为纠错而采用的译码方法自然比检错要复杂许多。为了能够纠错，要求每个可纠正的错误图样必须和校正子之间存在某种对应关系。因此，可以按照下述步骤进行纠错：
(1)由接收到的码多项式B(x)计算校正子（伴随式）多项式S(x)； (2)由校正子S(x)确定错误图样E(x)；
(3)将错误图样E(x)与B(x)相加，纠正错误。
纠错码译码器的复杂性主要取决于译码过程的第（2）步。
基于错误图样识别的译码器称为梅吉特译码器，它的原理图如图2.3所示。错误图样识别器是一个具有（n-k）个输入端的逻辑电路，原则上可以采用查表的方法，根据校正子找到错误图样，利用循环码的上述特性可以简化识别电路。梅吉特译码器特别适合于纠正2个以下的随机独立错误。
图中k级缓存器用于存储系统循环码的信息码元，模2加电路用于纠正错误。当校正子为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端为0，输出缓存器的内容；当校正子不为0时，模2加来自错误图样识别电路的输入端在第i位输出为1，它可以使缓存器输出取补，即纠正错误。
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