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《数学思维方法》论文
公理化方法及公理化体系应如何与初等数学教育相结合
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公理化方法及公理化体系应如何与初等数学教育相结合
摘要：本文首先阐述公理化方法的概念、公理化的产生以及公理化方法的基本要求，在此基础上接着阐述了公理化方法在数学教学中教学内容、教学过程以及数学美学教学中的意义和作用。通过对这些问题的研究，我们对公理化方法的意义和作用有了更深刻的理解，因而对公理化方法在数学教学中起到一定的作用。
关键词：公理化 数学教学
公理化方法既是一个古老的数学方法，又是一个现代科学技术中极其重要的方法。它是欧几里德研究几何图形和总结数学成果的思想方法，它是从最少的公理出发，通过归纳、演绎获得整个理论体系的思想方法。它支撑着整座几何大厦，无处不在、无时不有，应用广泛，容易保留在人们的长时记忆中。
公理化方法就是从尽可能少的不加定义的原始概念和一组不证自明的命题出发，利用纯逻辑推理的法则，推导出其余的命题和定理，把数学建立成演绎系统的一种方法。[1]
公理化方法是对几何学的整理和研究创造出来的科学方法之一，它在几何学的发展中产生并且逐步完善，使几何学在逻辑结构严谨的科学体系中起了重要的作用，它是认识论、辩证法和逻辑学的统一，它是几何学发展的必然产物和重要成果。[2]
公理化系统的出发点就是一组原始概念和公理，因此如何去选原始概念和设置公理是公理化的关键。由于数学的严谨性集中表现是公理化方法，因此对公理化提出了严格的要求，而对公理化的严格要求也就转化为对原始概念的选取和对公理设置的要求。因此希尔伯特在总结前人工作的基础上提出了严格要求的标准：所设置的公理组必须满足：“相容性、独立性、完备性。”[3]尽管公理化系统要求非常严格，要求建立一个合格的令人满意的公理化非常困难，但公理化方法的思想却非常简单，公理化的出发点是一组不加定义的原始概念和一组不加证明的公理，也就是说由原始概念和公理可以推演出整个理论体系，而原始概念、公理是人们已经认识了并确定为真的知识（或命题）。因此，公理化方法的思想用希尔伯特的话来说就是：“用公理化方法进行研究就等于用自己已经掌握了的东西进行思考”[4]公理化方法的基本思想对整个数学乃至对科学都产生了深远影响。
数学是培养学生逻辑思维能力的一种很有用的方法，而逻辑思维能力是公理化方法的一个主要特征，因此，对于数学内容的选取应综合各方面的因素，在学生可接受的前提下，
以一种相对严谨的公理化方式，渐进地使学生了解公理化方法的思想内核，从而培养学生的逻辑思维，演绎推理能力
公理是诸基本概念相互关系的规定，这些规定必须是必要的而且合理的，因此一个严格完善的公理体系对于公理选取和设置必须具备以下三点：
(1)相容性：公理化的相容性是指同一公理系统中的公理不能相矛盾。 (2)独立性：公理化的独立性是指公理系统中所有公理不能互相推出。 (3)完备性：即要求能确实保证从公理系统中能推出所研究的数学分支 的全部命题，而且在推理过程中，不能加以任何直觉。[3]
数学教材虽然不是严格完整的公理体系，但却处处体现了公理化方法的基本思想，也可以说只要开始学习数学就已进入某一数学公理体系，也就自然而然地接触到公理化的基本思想。因此，数学公理化有其重要的教学意义，所以在数学教学中应该突出数学公理化方法。
因为数学中到处都体现了公理化思想，所以说在数学教学中，公理化方法也是一种重要的数学思想方法。
由于公理化的出发点是“已经掌握了的知识”，这就说明在数学学习中，学生已有知识经验起相当重要的作用。教师应努力创设情境激活学生原有认知结构中与新知识学习有关的各种基础知识，让学生能在已经掌握的知识的基础上，进行思考新学习的内容，以保证学生学习的顺利进行。
只有贯彻在“已经掌握了的知识”的基础上进行思考的人类，才能征服自然势力，创造繁荣富强的社会，而我们理想之极乐世界才有实现的可能，这个担子是要老师挑起的。[4]
为了提高学生的综合素质，近几年新课程改革轰轰烈烈地进行着，这也就促使我们思考这样一个问题：初等数学教学应该如何呈现数学教学内容呢？
新课程改革在数学的几何方面，加强了对学生的动手能力的培养、创造力的培养和直觉能力的培养，而减少几何证明的推理过程，削弱了对学生逻辑思维能力的培养。我认为，虽然学生的动手能力、创造力等能力的培养很重要，但是也不能忽视学生的逻辑思维能力，因为学习数学不仅仅是为了解决一些数学问题，更重要的是通过数学学习掌握一些数学方
法，获得一些解决问题的能力。
课程内容的选择，一是要实现教学内容的现代化，把现代科学、技术、文化的前沿性研究成果以适当的形式及时地反映在学科教学内容中；二是要把握初等教育课程改革的新动向，使课程内容切合初等教育课程改革与发展的需求；三是要精选教材，同时要加强校本课程的开发，组织编写适合初等教育专业特点的新教材。为了做好这三个方面的工作，我们采用教师自修研究、访学进修、集体研讨、网络学习等方式，了解学科发展的最新动态，提高专任教师的学科学术水平。同时组织教师开展师范教育与初等教育的对接研究，熟悉和掌握新的小学课程标准，补充新课程教学需要的新内容，以满足学生专业发展的需求。在这个基础上，组织教师编写讲义和教材。
公理化方法认为：学习是在已经掌握了的知识上进行思考。所以知识不能由教师或其他人简单地传授给学生，而是学生个体主动地根据自己已掌握的知识进行思考，从而达到对知识的发现和理解。这一观点确认了在教学过程生的主体地位，要求教师树立正确的教学观，学生不应被动地接受教学知识,而应积极思考，主动建构数学知识体系。
由于学生的数学学习具有社会性，是在学校这一特定环境中，由教师指导来完成的，因此在确认学生在教学过程中主体地位的同时，还应充分发挥教师的主导作用。教师在设计教学内容和创设教学情景应该有利于启发学生进行思考，在学生思考过程中遇到困难时，教师应以指导者的身份给学生以示范或启发[6]。
综上所述，公理化思想对树立正确的数学教学观有积极意义，由于数学教学观在教学过程中起决定性作用，因此，数学公理化对数学教学改革也是有启发的。
公理化方法思想的基本条件之一是已经掌握的知识，另一个是在掌握知识的基础上进行思考。只有具备这两个条件才能发现新的知识，才能有所创新，所以说公理化方法在培养学生的创造力方面也有一定的影响。
关于公理化方法的意义和作用，随着时代的发展，人们的认识不断提高还有待于进一步研究。培养学生应用公理化方法的一是有重要的意义：能够更好的理清数学中的各种概念、命题和定理之间的关系；能够把公理化方法应用在其它领域，有利于培养更多的人才，有利于未来社会的更好发展。培养学生应用公理化方法的意识，是一项长期而又艰巨的任务，这需要各方面的支持和努力。
教学手段的更新，就是要改变黑板加粉笔这样一种落后的教学手段，而代之以多媒体技术为核心的现代化教学手段，这一点对课程的有效实施非常重要。现代化教学手段的运用，能提高学生的学习兴趣，能增大课堂教学容量，提高教学效率。课程实践中，我们一方面充分利用全校共享的教学设备设施，另一方面，还装备了系级的多媒体教室、微格教室，购置和自制了教学软件，要求每一位专业任课教师能自制课件，能熟练地运用现代化教学手段进行教学。到目前为止，90%以上的人专业必修课的教学都使用了现代教学技术，从而保证了课程教学的质量。
参考文献
[1]徐利治．数学方法论选讲[M]．武汉：华中理工大学出版社，1988：47-61 [2]D.Hilbert著江泽涵译.几何基础[M]北京：北京科学出版社，1958：2-5 [3]黄萍．关于公理化方法[J]．六盘水师专学报，1998，(4)：26-28 [4]方明．陶行知教育名篇[M]．北京：教育科学出版社，2002：132-138 [5]普通高中课程标准试验教科书数学选1-2，2008，江苏教育出版社，32-33 [6]谭琼华．公理化建构主义与数学教学[J]．郴州师范学院学报，2001,(2):35-39