发布时间 : 星期一 文章（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应更新完毕开始阅读a154bf33fbb069dc5022aaea998fcc22bdd14352
§5.3 平面向量的平行与垂直及平面向量的应
用
考纲解读
考点 1.平面向量的平行与垂直 2.平面向量的综合应用 内容解读 1.平面向量平行与垂直的判断 2.平面向量平行与垂直关系的应用 1.与解三角形相结合 2.与函数、不等式相结合 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 填空题 ★★☆ 解答题 填空题 ★★☆ 解答题 B B
分析解读 平面向量的平行与垂直是平面向量中的重要内容,一般与三角函数、解三角形等知识交汇考查.
五年高考
考点一 平面向量的平行与垂直
1.(2017课标全国Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m= . 答案 7
2.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m= . 答案 -6
3.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为 . 答案 -5
4.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .
答案 -
5.(2014湖北,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ= . 答案 ±3
考点二 平面向量的综合应用
1.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4;2
2.(2015福建改编,9,5分)已知·
⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则
的最大值等于 .
答案 13
3.(2013福建理改编,7,5分)在四边形ABCD中,
=(1,2),
=(-4,2),则该四边形的面积为 .
答案 5
4.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上. (1)若(2)设
+=m
+=0,求|+n
|;
(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
解析 (1)解法一:∵且∴即
+
+
++=0,
=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 解得x=2,y=2,
=(2,2),故|
+
+-
|=2. =0, )+(
-)=0,
解法二:∵即(
-
)+(
∴∴|
=(++)=(2,2),
|=2. =m
+n
,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
(2)∵
∴
两式相减得,m-n=y-x,
令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 平面向量的平行与垂直
1.(2017江苏南京学情检测,6)设向量a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b.若a∥c,则实数x的值是 . 答案 4
xy
2.(2017江苏徐州沛县中学质检,11)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则16+4的最小值为 . 答案 8
3.(2017江苏无锡期末,7)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),若a-b与ma+b垂直,则m的值为 . 答案
4.(2018江苏淮安、宿迁高三(上)期中)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b),n=(sin B,-cos A),且m⊥n. (1)求A的大小;
(2)若|n|=,求cos C的值. 解析 (1)∵m⊥n,
∴m·n=asin B-bcos A=0, ∴sin Asin B-sin Bcos A=0,
2
又sin B≠0, ∴tan A=, ∵A∈(0,π), ∴A=.
(2)∵|n|==,
∴sin2
B+
=,
解得sin2
B=, ∵B∈(0,π),
∴sin B=,
当B为锐角时,cos B==,
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=,
当B为钝角时,cos B=-,
cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=,
综上,cos C的值为或.
5.(2018江苏无锡高三期中)已知a=(-3,1),b=(1,-2),c=(1,1). (1)求a与b的夹角的大小; (2)若c∥(a+kb),求k的值.
解析 (1)设a与b的夹角为α,因为cos α===-,α∈[0,π],所以α=.
即a与b的夹角为. (2)a+kb=(-3+k,1-2k).
因为c∥(a+kb),所以1-2k+3-k=0, 解得k=.
考点二 平面向量的综合应用
6.(苏教必4,二,5,变式)在△ABC中,有如下命题,其中正确的是 . ①
-=;
3
②+++·
=0; )·(
-)=0,则△ABC为等腰三角形;
③若(④若
>0,则△ABC为锐角三角形.
答案 ②③
7.(苏教必4,二,5,变式)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则(
·
)min= .
答案 1
8.(苏教必4,二,5,变式)如图所示,点O为△ABC的外心,以OA、OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC、OD为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为H.
(1)若(2)证明
=a,⊥
=b,;
=c,
=h,用a、b、c表示h;
(3)若△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,外接圆的半径为R,用R表示|h|. 解析 (1)由向量加法的平行四边形法则可得 ==
++
=a+b,
=c+a+b,∴h=a+b+c.
(2)证明:∵点O是△ABC的外心, ∴|
|=|
|=|
|,
即|a|=|b|=|c|. 而=∴
=-·
-=h-a=b+c,
=b-c,
=(b+c)·(b-c)=|b|-|c|=0.∴
2
2
⊥.
(3)在△ABC中,O是外心,∠BAC=60°,∠ABC=45°, ∴∠BOC=120°,∠AOC=90°. 于是∠AOB=150°. 2
|h|=h·h=(a+b+c)·(a+b+c)
4