中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解 联系客服

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第七章空间解析几何与向量代数

内容概要

名称 向量及线性运算 向量的坐标 主要性质:(1)a单位化向量为向量与数的乘法 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 主要内容(7-1,7-2,7-3) ?a:当??0时,?a表示和a同向,?a??a的向量; 当??0,?a表示和a反向,?a??a的向量; aa,(2)a//b?a??b M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的距离:(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量的代数运算 a?axi?ayj?azk b?bxi?byj?bzk ?a??axi??ayj??azk 向量a的模、方向余弦:222a?ax?ay?aza?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ,cos??axba,cos??x,cos??zaaa 向量a在μ轴上的投影:Prjμa?acos(a,μ)???a?μ μ数量积向量积混合积 数量积 定义及运算:a?b?abcos(a,b)?axbx?ayby?azbz 主要性质:(1)a?a?a2;(2)a(3)cos(a,b)??b?a?b?0,?a?bab 向量积 定义 a?b的模为a?b?absin(a,b),方向为a指向b大拇指方向 ?运算 ia?b?axbxjaybykazbz 性质:(1)a?b表示以a、b为邻边的平行四边形面积; (2)a?b?a , a?b?b 混合积 ax定义及运算:(a?b)?c?bxcx性质:(1)(a?b)?caybycyazbzcz ?(b?c)?a?(c?a)?b (2)a,b,c共面的充要条件:(a?b)?c?0 习题7-1

★★1.填空:

(1) 要使(2) 要使

★2.设ua?b?a?b成立,向量a , b应满足a?b

a?b?a?b成立,向量a , b应满足a//b ,且同向

?a?b?2c , v??a?3b?c,试用a , b , c表示向量2u?3v

知识点:向量的线性运算

解:2u?3v?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c

★3.设P , Q两点的向径分别为r1 , r2,点

R在线段PQ上,且

PRRQ?m,证明点R的向径为 nn r1?m r2r?m?n

知识点:向量的线性运算

证明:在?OPQ中,根据三角形法则OQ?OP?PQ,又PR?∴ORmm PQ?(r2?r1),

m?nm?n?OP?PR?r1?nr?mr2m(r2?r1)?1m?nm?n

★★4.已知菱形

ABCD的对角线AC?a , BD?b,试用向量a , b表示AB , BC , CD , DA。

知识点:向量的线性运算

解:根据三角形法则, AB?BC?AC?a , AD?AB?BD?b,又ABCD为菱形,

AD?BC(自由向量),

∴2AB∴

?AC?BD?a?b?AB?a?bb?a ?CD??DC??AB?22AD?BC?a?ba?b,DA?? 22★★5.把?ABC的BC边五等分,设分点依次为D1 , D2 , D3 , D4,再把各分点与点

A连接,试以

AB?c , BC?a表示向量D1A , D2A , D3A 和D4A。

知识点:向量的线性运算 解:见图7-1-5,

A c B D1 D2 图7-1-5 a C D4 D3

11BC?D1A??AD1??(c?a) 55234同理:D2A??((c?a), D3A??(c?a), D4A??(c?a)

555根据三角形法则,

AB?BD1?AD1, BD1?习题7-2

★1在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限?

A(2 ,?2 , 3); B(3 , 3 , ?5); C(3 , ?2 , ?4); D(?4 , ?3 , 2)

答:A(2 ,?2 , 3)在第四卦限,B(3 , 3 , ?5)在第五卦限,C(3 , ?2 , ?4)在第八卦限,

D(?4 , ?3 , 2)在第三卦限

★2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征?并指出下列各点的位置:

A(2,3,0); B(0,3,2); C(2,0,0); D(0,?2,0)

知识点:空间直角坐标

答:在各坐标面上点的坐标有一个分量为零,坐标轴上点的坐标有两个分量为零,

∴点

A在xoy坐标面上;B在yoz坐标面上;C在x轴上;D在y轴上。

★3.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标。

答:(1)(a,b,c)关于xoy面的对称点的坐标为(a,b,?c);关于xoz面的对称点的坐标为(a,?b,c);

关于yoz面的对称点的坐标为(?a,b,c)。

(2)(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,?b,?c);关于y轴的对称点的坐标为(?a,b,?c);

关于z轴的对称点的坐标为(?a,?b,c)

(3)(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为(?a,?b,?c)

(x0,y0,z0)分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面,问在它们上面的点的坐★★4.过点P0标各有什么特点?

(x0,y0,z0)平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为x0,y0,因此坐标为(x0,y0,z);答:过点P0(x0,y0,z0)平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为z0,因此坐标为(x,y,z0) 过点P0★5.求点M(5,?3,4)到各坐标轴的距离。

解:∵M(x,y,z)到x轴的距离为z2?y2

∴M(5,?3,4)到x轴的距离为同理M(5,?3,4)到y轴的距离为

z2?y2?9?16?5;

x2?z2?25?16?41;

M(5,?3,4)到z轴的距离为x2?y2?25?9?34

★★6.在yoz面上,求与三点

A(3,1,2),B(4,?2,?2),C(0,5,1)等距离的点。

知识点:空间两点的距离

解:∵所求点在yoz面上,∴设所求点的坐标为(0,y,z),由条件可知:

9?(y?1)2?(z?2)2?16?(y?2)2?(z?2)2?(y?5)2?(z?1)2

?3y?4z??5?y?1,∴所求点为(0,1,?2) ????4y?z?6z??2??★7.已知两点M1(0,1,2),M2(1,?1,0),试用坐标表示式表示向量

M1M2,?2M1M2。

知识点:空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算

解:M1M2?{1,?2 , ?2};?2M1M2??2{1,?2 , ?2}?{?2, 4, 4}

★8.求平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量

知识点:向量的坐标表示及代数运算