发布时间 : 星期六 文章中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第7章课后习题详解更新完毕开始阅读a160b97401f69e3143329469
i易知：njk?MM0?n?s?MM0?521??8i?9j?22k，
?14?2?0??8x?9y?22z?59?0
∴?：?8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?x?y?3z?0★8．求直线?与平面x?y?z?1?0的夹角。
x?y?z?0?知识点：直线与平面的夹角 解：设直线L：??x?y?3z?0的方向矢为s，平面?：x?y?z?1?0的法矢为n，直线L与
x?y?z?0?k3?2i?4j?2k , n?{1,?1, ?1} ，可取s?{1,2,?1}
平面?的夹角为?。
i则sj1?11?1?1∴sin??cos(n,s)??n?sns?0???0?L//?
★★9．试确定下列各组中的直线和平面间的关系：
x?3y?4zxyz??和4x?2y?2z?3； （2）??和3x?2y?7z?8； ?2?733?27x?2y?2z?3（3）和x?y?z?3。 ??31?4（1）
思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系
解：在每道小题中都设直线L的方向矢为s，平面?的法矢为n，直线L与平面?的夹角为?。
则（1）s?{?2, ?7, 3},n?{2,?1, ?1}?sin??cos(s,n)??s?nsn?0?L//?，
又L上的点(?3, ?4, 0)不满足4x?2y?2z?3，∴L不在?上，∴L//?
?（2）s?{3, ?2, 7},n?{3,?2, 7}?sin??cos(s,n)??s?nsn?1?L??
（3）s?{3, 1, ?4},n?{1,1, 1}?sin??cos(s,n)?s?nsn?0?L//?
又L上的点(2, ?2, 3)满足x?y?z?3，∴L在?上。
★★★10．求点(?1 , 2, 0)在平面x?2y?z?1?0上的投影。
思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的
交点（即投影点）
解：过点M(?1 , 2, 0)作平面?：x?2y?z?1?0的垂线L，设L的方向矢为s，平面?的法
?x?t?1x?1y?2z????t??y?2t?2， 矢为n，则可选s?n，∴L：12?1?z??t?将L的参数方程代入?求出L和?的交点（即投影点）M0：
(t?1)?2(2t?2)?(?t)?1?0?t??★★★11．设M0是直线
2522?M0?(? , , ) 3333?L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到
。
直线L的距离d?MM0?ss知识点：向量积和空间直线及其方程
思路：画简图可知：距离d是由M、M0以及当把s的起点放在M时的终点坐标M1三点组成的三角
形底边MM1上的高，见图7-7-11
M0 d L Ms M1 图7-7-11
解：设当把s的起点放在M时s的终点坐标为M1，d即为?M0MM1底边MM1上的高
根据向量积的性质可知?M0MM1的面积S??MM0?s，又S?1sd2
∴d?MM0?ss
★★★12．求直线L:??x?y?z?1?0在平面?:x?y?z?0上的投影直线方程。
?x?y?z?1?0方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线L垂直于?的平面?1；（2）?与?1的
交线即为L在?上的投影直线。
解：过L的平面束方程为x?y?z?1??(x?y?z?1)?0
?(1??)x?(1??)y?(??1)z???1?0，此平面束中和?垂直的平面应满足： (1??)?(1??)?(??1)?0????1，
∴过直线L垂直于?的平面?1：x?y?z?1?(x?y?z?1)?0?y?z?1，
∴L在平面?上的投影直线方程为：??x?y?z?0
?y?z?1方法二：可通过求L和?的交点以及L的方向矢写出所求投影直线的对称式方程
?x?y?z?1?011?解：L和?的交点M0(x,y,z)满足：?x?y?z?1?0?M0(0, , ?)
22?x?y?z?0?ijkL的方向矢s?11?1??2j?2k，设?的法矢为n，
1?11则L和它的投影直线组成平面的法矢n1满足：n1投影直线的方向矢s1应满足：s1∴投影直线方程：
?s且n1?n?n1?n?s??j?k
?s且s1?n1?s1?n1?s?2i?j?k
xy?0.5z?0.5 ??21?113．已知直线L:??2y?3z?5?0，求：
?x?2y?z?7?0?y?3z?8?0上的投影直线方程。
★（1）直线在yoz平面上的投影方程； ★（2）直线在xoy平面上的投影方程； ★★★（3）直线在平面?:x?2y?3z?5?0解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知：L:? 中消去x，
x?2y?z?7?0?可得L在yoz面上的投影：??2y?3z?5?0
x?0?注：也可参照习题12的方法做
（2）L:??2y?3z?5?0?3x?4y?16?0中消去在，可得L在xoy面上的投影：?
z?0?x?2y?z?7?0?注：也可参照习题12的方法做
（3）过L的平面束方程为2y?3z?5??(x?2y?z?7)?0
??x?(2?2?)y?(3??)z?7??5?0，此平面束中和?垂直的平面应满足：
??(2?2?)?3(3??)?0?无解，说明这些平面都不垂直于?，过L且不在平面束方程中的平
面只有一个：x?2y?z?7?0，此平面设为?1，确有：?1??，?1即为过直线L且垂直于?的平面∴L在平面?上的投影直线方程为：??x?y?3z?8?0
?x?2y?z?7?0★★★14．证明直线
x?1y?1z?3x?1y?2z?3与直线相交，并求它们交角的平分????381473线方程。
知识点：直线及其方程 证：将直线L1：
直线L2 （题有问题？）
x?1y?1z?3化为参数式：x?3t?1,y?8t?1,z?t?3，代入 ??381习题7-8
1． 画出下列方程所表示的曲面：
zx2y2?（1）4x?y?z?4； （2）x?y?4z?4； （3）?349222222。
z
o y x
图7-8-1-1