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数学建模作业
3-2、（电视机最佳销售价格）
设销售量（产量）x与价格p关系——需求关系为 1）x=Me-ap (M,a>0)
M:最大需求量 a:价格系数
设成本C与销售量x的关系——生产关系为 2）C=C0-klnx (C0,k>0,x>1)
C0:只生产一件时的成本 k:规模系数
已知仅生产一台电视机的单位成本是5000元/台，生产10000台时的成本为3000元/台，根据市场调查，当地的电视机需求量为100万台。该厂的电视机去年每台售价为3000元，共售出4.9万台。若需求与生产关系如上1），2）式，试确定今年电视机的最佳销售价格。
问题分析：1,价格越高销售约少，但单件利润越大； 2，销售越多,成本越低，但价格也越低；
3，根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大；
模型假设：1，销售量等于生产量，均为x；
2，总收入为I(x)，总投资为C(x),总利润为U(x); 模型构成：x(p)= Me
?ap
?apI(p)=x(p)p=Mep；
?ap C(p)= x (p)(C0-klnx(p))= Me(C0-klnx(p));
U(p)=I(p)-C(p)=x(p)(p-C0+k㏑x(p));
模型求解：
为使U(p)→max→
du=0; dp →dxdp(p-C0+k㏑x(p))+x(p)-k
dx=0； dp → -ax(p)(p-C0+kln x(p))+(ak+1)x(p)=0； →p=
ak?1?ac0?aklnM
a(1?ak)
此题求解: C=C0-klnx →x=1,C0=5000； ① 5000-k㏑10000=3000 →k=500/ln10； ② 49000= Me
?a3000 ; ③
6
M为最大需求量,当地的需求量即可理解为最大需求量，M=10④
ln49*10由③④得：a=
?3000?3
代入数据算得:p=4109 x=16415 最大利润为：
Umax =16415*(4109-5000+(500/log10)*log16415）=1998×10
3-3、（观赏海洋公园雕像）
海洋公园中有一高为a米地美人鱼雕像,其底座高为b米,为了观赏时视角对雕像张成的夹角最大(即看得最清楚),应该站在离底座脚多远得地方?另外,若a=2.5m,b=3m,游人身高为1.7m,这时有人应离底座脚多远?
求解：建立如下图所示的坐标系：
4
余弦定理可得：α=arccos
S1?S2?a22S1S222 ①
S12?(b?c)2?x2 ②
S2?(a?b?c)2?x2 ③
2
x>0
④
2x2?(b?c)2?(a?b?c)2?a22(x?(b?c))(x?(a?b?c))2222将②③代入①：α=arccos
由图易知 0°<α<90° 所以要使α最大： Z=程序求解：（Matlab） a=2.5;
⑤
2x2?(b?c)2?(a?b?c)2?a22(x?(b?c))(x?(a?b?c))2222→min
b=3; c=1.7;
x=0:0.001:10; %x以0.001为步长增加，其实就是精度 t=1000; %任取一个数，大概要大于原点对应的Q for i=1:10000
Q=(2*x(i)^2+(b-c)^2+(a+b-c)^2-a^2)/(2*sqrt((x(i)^2+(b-c)^2)*(x(i)^2+(a+b-c)^2)));
if t>Q %选取最小的Q，与对应的i t=Q; flag=i; end end flag
x=flag*0.001 %总的步数乘以步长为x的值
运行结果：flag = x =
2224 2.2240
结论：当人距离雕像底座为2.224米时，所能观察雕像的角度最大。
3-4、（水管能否进入水塔） V1 V2 V4 V3 O
在地面上有一座圆柱形水塔,水塔内部的直径为d,并在地面处开了一个高为H的小门.现在要对水塔进行维修施工,施工方案
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