发布时间 : 星期一 文章2012年中考真题 - 数学（黄石卷）word解析版1更新完毕开始阅读a1c50fdfce2f0066f53322cb
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AC?8,AB?40,E为AB上一点且AE?5，CE交其内角角平分线AD与F.试求3DF的值. FA【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的性
质；勾股定理．
【专题】探究型． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
则DB=CD，易得
ACCD?；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1， ABDB同理可得到DB1=2DC1，易得
AC1C1D； ?AB1DB1（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的
定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到AC/BE=CD/DB，而BE=AB，于是有AC/AB=CD/DB，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到
CDAC83AE53CDAE???，又??，则有?，得到DBAB405EB405DBEB?533DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
DFEFAE5??? FAFCAC8【解答】解：（1）易验证
ACCDAC11C1D?1?, ??ABDBAB12DB1这两个等式都成立； ?????????????????????2分
(2)可以判断结论仍然成立，证明如下： ????????????1分
如右图所示ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交 AD的延长线于E点 C∵∠E=∠CAD=∠BAD
D∴BE=AB
又∵ΔEBD∽ΔACD ???????????1分
ABEACCD?,又∵BE=AB BEDBACCD?∴即对任意三角形结论仍然成立. ??????????1分 ABDB∴
﹙3﹚如图（11）所示，连结ED
∵AD为ΔABC的内角角平分线
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CDFCDAC83??? ??????１分 ∴
DBAB4053而
AE53??????????１分 EB405?53CDAE? , ∴DE∥AC DBEBAE图（11）B∴
∴ΔDEF∽ΔACF ???????????１分 ∴
DFEFAE5??? ??????????１分 FAFCAC8【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所
截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质． 25.（本小题满分10分）已知抛物线C1的函数解析式为y?ax2?bx?3a(b?0)，若抛物
线C1经过点(0,?3)，方程ax?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。 （1）求抛物线C1的顶点坐标. （2）已知实数x?0，请证明：x?211≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设Amy(,)1，
0且满足：?AOB?90，m?0，n?0.请你用含有mB(n,y2)是C2上的两个不同点，
的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的
函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则P，Q两点间的距离为(x2?x1)?(y2?y1)）
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；配方法． 【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b
的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．
（2）x?2211?1，因此将x?配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得xx第 14 页 共 16 页
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证．
（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解
析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３
∴a＝１ ??????????????１分 ∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且x1-x2＝４
∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2＝４且b＜０
∴b＝－２ ????????１分
２
∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）－４
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） ?????????１分 （2）∵x＞０，∴x?11?2?(x?)?0 xx∴x?11?2,显然当x＝１时，才有x??2, ?????????２分 xx（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2 ?????????１分
２２
∴Ａ(m，m)，B（n，n） ∵ΔAOB为RtΔ
２２２
∴OA+OB=AB
２４２４２２２２
∴m＋m＋n＋n＝（m－n）＋（m－n）
化简得：m n＝－１ ????????１分
∵ＳΔAOB=
11OA?OB=m2?m4?n2?n4 22∵m n＝－１ ∴ＳΔAOB＝
1112?m2?n2?2?m2?2 22m＝
111?1?1(m?)2??m????2?1 2m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１) ????????２分
∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x ????????１分 方法二：由题意可求抛物线C2的解析式为：y?x ········································ （1分）
∴A(m,m)，B(n,n)
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则 y 222www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品中考网邮箱：canpointzk@188.com 第 15 页 共 16 页 A(m，m2)
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S?S梯形ACDB?S?AOC?S?BOD
1211(m?n2)(m?n)?m?m2?n?n2 2221??mn(m?n)
2BDOD?由△BOD ∽△OAC得 OCAC?n2?n?即 mm2∴mn??1 ······························································································· （1分）
1 m111∴S??mn(m?n)?(m?)
22m1由（2）知：m??2
m111∴S?(m?)??2?1
2m2当且仅当m?1，S取得最小值1 此时A的坐标为（１，１） ···································································· （2分）
∴n??∴一次函数OA的解析式为y?x ··························································· （1分）
【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．
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